A2 - lernen mit Serlo!

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p = 0,2$ . Für die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ gilt: $\sigma=1{,}2$ .

Berechnen Sie $n$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Standardabweichung
Berechne n
$\sigma=1{,}2=\sqrt{n \cdot p \cdot(1-p)}=\sqrt{n \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8}$
$\Rightarrow\;$ quadrieren $\;\Rightarrow\;$ $1{,}44=n\cdot 0{,}16\;\Rightarrow\;n=\dfrac{1{,}44}{0{,}16}=9$
$n$ hat den Wert $9$ .
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$\sigma=1{,}2=\sqrt{n \cdot p \cdot(1-p)}$
Setze $p$ ein und löse nach $n$ auf.
In einer Urne befinden sich $2$ schwarze und $8$ weiße Kugeln. Aus der Urne wird mit Zurücklegen neunmal eine Kugel gezogen.
(i) Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau zweimal eine schwarze Kugel gezogen wird. (1 P)
(ii) Beschreiben Sie ein Ereignis im Sachkontext der Aufgabe mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}2^{2} \cdot\binom{7}{3} \cdot 0{,}2^{3} \cdot 0{,}8^{4}$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
(i) Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau zweimal eine schwarze Kugel gezogen wird
Es ist $n = 9$ und $p_{\text{schwarz}}=0{,}2$ .
Dann ist:
$P(X=2)=\binom{9}{2} \cdot 0{,}2^{2} \cdot 0{,}8^{7}$
Der Term für die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau zweimal eine schwarze Kugel gezogen wird, lautet $\binom{9}{2} \cdot 0{,}2^{2} \cdot 0{,}8^{7}$ .
(ii) Beschreiben Sie ein Ereignis im Sachkontext der Aufgabe mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}2^{2} \cdot\binom{7}{3} \cdot 0{,}2^{3} \cdot 0{,}8^{4}$
Aus der Urne wird mit Zurücklegen neunmal eine Kugel gezogen.
$0{,}2^2$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass zunächst $2$ schwarze Kugeln gezogen werden.
$\binom{7}{3} \cdot 0{,}2^{3} \cdot 0{,}8^{4}$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den restlichen 7 gezogenen Kugeln genau 3 schwarze Kugeln gezogen werden.
Ereignis: Von den neun gezogenen Kugeln sind die ersten beiden schwarz.
Von den weiteren sieben gezogenen Kugeln sind genau drei schwarz.
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Betrachte die Terme $0{,}2^2$ und $\binom{7}{3} \cdot 0{,}2^{3} \cdot 0{,}8^{4}$ .
Was wird mit diesen Termen berechnet?
Formuliere ein Ereignis.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Berechne n

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(i) Geben Sie einen Term für die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei genau zweimal eine schwarze Kugel gezogen wird

(ii) Beschreiben Sie ein Ereignis im Sachkontext der Aufgabe mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,22⋅(73)⋅0,23⋅0,840{,}2^{2} \cdot\binom{7}{3} \cdot 0{,}2^{3} \cdot 0{,}8^{4}0,22⋅(37​)⋅0,23⋅0,84

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(ii) Beschreiben Sie ein Ereignis im Sachkontext der Aufgabe mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}2^{2} \cdot\binom{7}{3} \cdot 0{,}2^{3} \cdot 0{,}8^{4}$