Begründe, dass alle Graphen von Funktionen der Schar $g_k$ nur einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse haben

Mit ${\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}>0$ für alle $x\in ℝ$ und $k^2>0$ gilt:

$g_k(x)=4\cdot k^2\cdot (x-3)\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}=0\iff (x-3)=0\iff x=3$.

Somit gibt es nur einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von $g_k$ in Abhängigkeit von $k$

Gegeben ist $g_k(x)=4\cdot k^2\cdot (x-3)\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}$.

Berechne $g_k^{\prime }(x)=4\cdot k^2\cdot (1\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}+(x-3)\cdot (-k)\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)})$.

$g_k^{\prime }(x)=4\cdot k^3\cdot (-x+3+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}$

Es folgt:

$g_k^{\prime \prime }(x)=4\cdot k^3\cdot (-1\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}+(-x+3+\frac{1}{k})\cdot (-k)\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)})$

$g_k^{\prime \prime }(x)=4\cdot k^4\cdot (x-3-\frac{2}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}$

Aus der notwendigen Bedingung $g_k{}^{\prime }(x)=0$ folgt:

$-x+3+\frac{1}{k}=0\Rightarrow x=3+\frac{1}{k}$

Überprüfe die Art des Extremums mit der 2. Ableitung:

$g_k^{\prime \prime }(3+\frac{1}{k})=4\cdot k^4\cdot (3+\frac{1}{k}-3-\frac{2}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (3+\frac{1}{k}-3)}$

$g_k^{\prime \prime }(3+\frac{1}{k})=-4k^3{e}^{-1}<0$ für alle $k>0$.

Der Graph der Funktion $g_k$ hat an der Stelle $x=3+\frac{1}{k}$ einen Hochpunkt.

Es ist $g_k(3+\frac{1}{k})=4\cdot k^2\cdot (3+\frac{1}{k}-3)\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (3+\frac{1}{k}-3)}=4\cdot k\cdot e^{-1}$ und der Hochpunkt hat die Koordinaten $H{P}_k(3+\frac{1}{k}|4\cdot k\cdot e^{-1})$.

(i) Weise nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar $g_k$ auf dem Graphen der Funktion $h$ liegen

Aus Aufgabe b) ist $H{P}_k(3+\frac{1}{k}|4\cdot k\cdot e^{-1})$.

Setze $x=3+\frac{1}{k}$ in $h(x)$ ein:

$h(3+\frac{1}{k})={\displaystyle \frac{4}{\mathrm{e}\cdot (3+\frac{1}{k}-3)}}=4\cdot k\cdot e^{-1}=y_{HP}$

Somit liegen alle Extrempunkte auf dem Graphen von $h$.

(ii) Gib einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_k$ mit $k>0$ ist

$\left(0|\frac{4}{-3\cdot \mathrm{e}}\right)$ ist ein Punkt der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_k$ mit $k>0$ ist. (In diesem Fall ist $k=-\frac{1}{3}$ und damit nicht größer null.)

Anmerkung: Alle Punkte des Graphen von $h$ mit $x<3$ sind zulässige Lösungen.

Prüfe rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ vom Parameter $k$ abhängt

Berechne das Integral $${\displaystyle \underset{w\to \infty }{\lim }{\int }_3^w{g}_k(x)\mathrm{d}x}$$.

Eine Stammfunktion von $g_k(x)$ ist die Funktion$G_k(x)=-4\cdot k\cdot (x-3+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}$

(Nachweis durch Ableitung: $G_k^{\prime }(x)=g_k(x)$)

Dann ist $${\displaystyle {\int }_3^w{g}_k(x)\mathrm{d}x={[-4\cdot k\cdot (x-3+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}]}_3^w}$$

Die Grenzen eingesetzt, erhält man:

$${\displaystyle {\int }_3^w{g}_k(x)\mathrm{d}x=-4\cdot k\cdot (w-3+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (w-3)}-(-4)}$$

$=-4\cdot k\cdot (w-3+\frac{1}{k})\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (w-3)}+4$

Der erste Summand wird von ${\mathrm{e}}^{-k\cdot (w-3)}$ dominiert.

Mit $k>0$ gilt: $${\displaystyle \underset{w\to \infty }{\lim }\left({\mathrm{e}}^{-k\cdot (w-3)}\right)=0}$$

Es folgt: $${\displaystyle \underset{w\to \infty }{\lim }({\int }_3^w{g}_k(x)\mathrm{d}x)=4}$$.

Der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt somit, unabhängig vom Parameter $k,4$ Flächeneinheiten.

(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{\mathrm{2,6}}$ an

Gegeben sind $g_{\mathrm{1,5}}(x)=f(x)=9\cdot (x-3)\cdot {\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,5}\cdot (x-3)}$ und

$g_{\mathrm{2,6}}(x)=4\cdot {\mathrm{2,6}}^2\cdot (x-3)\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}=\mathrm{27,04}\cdot (x-3)\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot (x-3)}$

Betrachte die Graphen der beiden Funktionen. Für den Hochpunkt des Graphen von $g_{\mathrm{2,6}}$ erhält man $x_{HP}\approx \mathrm{3,38}$ und $y_{HP}\approx \mathrm{3,83}\Rightarrow HP(\mathrm{3,38}|\mathrm{3,83})$

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{\mathrm{1,5}}$ und $g_{\mathrm{2,6}}$

Die grafische Analyse ergibt den ungefähren Schnittpunkt $S(4|2)$.

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g_{\mathrm{2,6}}$ in Abbildung 3

Es sind $HP(\mathrm{3,38}|\mathrm{3,83})$ und $S(4|2)$ gegeben.

Zeichne die Punkte in die Abbildung ein und verbinde sie mit einem passenden Graphen.

Begründe anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von $a$ größer oder kleiner ist als 1,5

Die $y$-Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_a$ ist größer als die $y$-Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{\mathrm{1,5}}$. Da die $y$-Koordinate des Hochpunktes linear mit $k$ wächst, muss der Parameter $a$ größer sein als $\mathrm{1,5}$. (Alternativ kann anhand der $x$-Koordinate argumentiert werden.)