B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 3

Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(x-3)}, x \in \mathbb{R}$ .

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_{k}$ gegeben durch die Gleichung

$g_{k}(x)=4 \cdot k^{2} \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}, x \in \mathbb{R}$ .

Es gilt $g_{1{,}5}=f$ .

Begründen Sie, dass alle Graphen von Funktionen der Schar $g_{k}$ nur einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse haben. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Begründe, dass alle Graphen von Funktionen der Schar $g_{k}$ nur einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse haben
Mit $\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ und $k^{2}>0$ gilt:
$g_{k}(x)=4 \cdot k^{2} \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}=0 \Leftrightarrow(x-3)=0 \Leftrightarrow x=3$ .
Somit gibt es nur einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.
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Setze $g_{k}(x)=0$ .
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von $g_{k}$ in Abhängigkeit von $k$ . $[$ Zur Kontrolle: Die Extremstelle ist $x=3+\frac{1}{k}$ . $]$ (5 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Bestimme rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von $g_{k}$ in Abhängigkeit von $k$
Gegeben ist $g_{k}(x)=4 \cdot k^{2} \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$ .
Berechne $g_{k}'(x)=4 \cdot k^{2} \cdot\left(1 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}+(x-3)\cdot(-k)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}\right)$ .
$g_{k}'(x)=4 \cdot k^{3} \cdot\left(-x+3+\frac{1}{k}\right)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
Es folgt:
$g_{k}''(x)=4 \cdot k^{3} \cdot\left(-1 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}+(-x+3+\frac{1}{k})\cdot(-k)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}\right)$
$g_{k}''(x)=4 \cdot k^{4} \cdot\left(x-3-\frac{2}{k}\right)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
Aus der notwendigen Bedingung $g_{k}{ }^{\prime}(x)=0$ folgt:
$-x+3+\frac{1}{k}=0\;\Rightarrow\;x=3+\frac{1}{k}$
Überprüfe die Art des Extremums mit der 2. Ableitung:
$g_{k}''(3+\frac{1}{k})=4 \cdot k^{4} \cdot\left(3+\frac{1}{k}-3-\frac{2}{k}\right)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(3+\frac{1}{k}-3)}$
$g_{k}''(3+\frac{1}{k})=-4k^3e^{-1}<0$ für alle $k > 0$ .
Der Graph der Funktion $g_{k}$ hat an der Stelle $x=3+\frac{1}{k}$ einen Hochpunkt.
Es ist $g_{k}(3+\frac{1}{k})=4 \cdot k^{2} \cdot(3+\frac{1}{k}-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(3+\frac{1}{k}-3)}=4\cdot k\cdot e^{-1}$ und der Hochpunkt hat die Koordinaten $HP_k\left(3+\frac{1}{k}\mid 4\cdot k\cdot e^{-1}\right)$ .
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Berechne $g_{k}{ }^{\prime}(x)$ und $g_{k}''(x)$ .
Aus der notwendigen Bedingung $g_{k}{ }^{\prime}(x)=0$ folgt $x_{1}$ .
Überprüfe die Art des Extremums mit der 2. Ableitung.
Berechne noch $g_{k} (x_{1})$ und gib die Koordinaten des Extremums an.
Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=\frac{4}{\mathrm{e} \cdot(x-3)}$ für $x \in \mathbb{R}, x \neq 3$ .
(i) Weisen Sie nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ auf dem Graphen der Funktion $h$ liegen. (2 P)
(ii) Geben Sie einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ mit $k > 0$ ist. (1 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
(i) Weise nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ auf dem Graphen der Funktion $h$ liegen
Aus Aufgabe b) ist $HP_k\left(3+\frac{1}{k}\mid4\cdot k\cdot e^{-1}\right)$ .
Setze $x=3+\frac{1}{k}$ in $h (x)$ ein:
$h(3+\frac{1}{k})=\dfrac{4}{\mathrm{e} \cdot(3+\frac{1}{k}-3)}=4\cdot k\cdot e^{-1}=y_{HP}$
Somit liegen alle Extrempunkte auf dem Graphen von $h$ .
(ii) Gib einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ mit $k > 0$ ist
$\left(0 \left\lvert\, \frac{4}{-3 \cdot \mathrm{e}}\right.\right)$ ist ein Punkt der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ mit $k > 0$ ist. (In diesem Fall ist $k=-\frac{1}{3}$ und damit nicht größer null.)
Anmerkung: Alle Punkte des Graphen von $h$ mit $x < 3$ sind zulässige Lösungen.
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(i)
Aus Aufgabe b) ist $HP_k\left(3+\frac{1}{k}\mid 4\cdot k\cdot e^{-1}\right)$ . Setze $x=3+\frac{1}{k}$ in $h (x)$ ein.
(ii)
Wähle z.B. $x = 0$ und berechne $h (0)$ . Vergleiche für $k > 0$ mit $y_{HP}=4\cdot k\cdot e^{-1}$ .
Für $x \geq 3$ liegt zwischen der $x$ -Achse und dem Graphen der Funktion $g_{k}$ die nach rechts offene Fläche $A$ .
Prüfen Sie rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ vom Parameter $k$ abhängt. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Prüfe rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ vom Parameter $k$ abhängt
Berechne das Integral $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\int_3^w g_k(x)\;\mathrm{d} x$ .
Eine Stammfunktion von $g_{k} (x)$ ist die Funktion $G_{k}(x)=-4 \cdot k \cdot\left(x-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
(Nachweis durch Ableitung: $G_{k}^{'} (x) = g_{k} (x)$ )
Dann ist $\displaystyle\int_{3}^{w} g_{k}(x) \mathrm{d} x=\left[-4 \cdot k \cdot\left(x-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}\right]_{3}^{w}$
Die Grenzen eingesetzt, erhält man:
$\displaystyle\int_{3}^{w} g_{k}(x) \mathrm{d} x=-4 \cdot k \cdot\left(w-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(w-3)}-(-4)$
$=-4 \cdot k \cdot\left(w-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(w-3)}+4$
Der erste Summand wird von $\mathrm{e}^{-k \cdot(w-3)}$ dominiert.
Mit $k > 0$ gilt: $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{-k \cdot(w-3)}\right)=0$
Es folgt: $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\left(\int_{3}^{w} g_{k}(x) \;\mathrm{d} x\right)=4$ .
Der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt somit, unabhängig vom Parameter $k, 4$ Flächeneinheiten.
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Berechne das Integral $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\int_3^w g_k(x)\;\mathrm{d} x$ .
Berechne zunächst $\displaystyle\int_3^w g_k(x)\;\mathrm{d} x=A(w)$
Eine Stammfunktion von $g_{k} (x)$ ist die Funktion $G_{k}(x)=-4 \cdot k \cdot\left(x-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
Berechne dann $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}A(w)$ .
Die Graphen der Funktionen $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$ schneiden sich nur im Punkt $N(3 \mid 0)$ und in einem weiteren Punkt $S$ .
(i) Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2{,}6}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$ .
(2 P)
(ii) Skizzieren Sie mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3. (2 P)
Abbildung 3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2{,}6}$ an
Gegeben sind $g_{1{,}5}(x)=f(x)=9 \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(x-3)}$ und
$g_{2{,}6}(x)=4 \cdot 2{,}6^{2} \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}=27{,}04\cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
Betrachte die Graphen der beiden Funktionen. Für den Hochpunkt des Graphen von $g_{2{,}6}$ erhält man $x_{HP}\approx 3{,}38$ und $y_{HP}\approx3{,}83\;\Rightarrow\;HP(3{,}38\mid 3{,}83)$
Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$
Die grafische Analyse ergibt den ungefähren Schnittpunkt $S(4 \mid 2)$ .
(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3
Es sind $HP(3{,}38\mid 3{,}83)$ und $S(4 \mid 2)$ gegeben.
Zeichne die Punkte in die Abbildung ein und verbinde sie mit einem passenden Graphen.
Abbildung 3
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(i)
Teil 1
Betrachte die Graphen der beiden Funktionen und lasse Dir den Hochpunkt $H P$ des Graphen von $g_{2{,}6}$ anzeigen.
Teil 2
Die grafische Analyse ergibt den ungefähren Schnittpunkt $S$ .
(ii)
Zeichne die Punkte $H P$ und $S$ in die Abbildung ein und verbinde sie mit einem passenden Graphen.
Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_{a}$ in Abbildung 3 dargestellt.
Begründen Sie anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von $a$ größer oder kleiner ist als $1,5$ . (2 P)
Abbildung 3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
Begründe anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von $a$ größer oder kleiner ist als 1,5
Die $y$ -Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{a}$ ist größer als die $y$ -Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{1{,}5}$ . Da die $y$ -Koordinate des Hochpunktes linear mit $k$ wächst, muss der Parameter $a$ größer sein als $1,5$ . (Alternativ kann anhand der $x$ -Koordinate argumentiert werden.)
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Die $y$ -Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{a}$ ist größer als die $y$ -Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{1{,}5}$ .
Die $y$ -Koordinate des Hochpunktes wächst linear mit $k$ .
Was bedeutet das für den Wert von $k$ ?

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 3

Begründe, dass alle Graphen von Funktionen der Schar gkg_{k}gk​ nur einen Schnittpunkt mit der xxx-Achse haben

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Bestimme rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von gkg_{k}gk​ in Abhängigkeit von kkk

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(i) Weise nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar gkg_{k}gk​ auf dem Graphen der Funktion hhh liegen

(ii) Gib einen Punkt des Graphen der Funktion hhh an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar gkg_{k}gk​ mit k>0k>0k>0 ist

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Prüfe rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche AAA vom Parameter kkk abhängt

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(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von g2,6g_{2{,}6}g2,6​ an

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes SSS der Graphen von g1,5g_{1{,}5}g1,5​ und g2,6g_{2{,}6}g2,6​

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion g2,6g_{2{,}6}g2,6​ in Abbildung 3

Abbildung 3

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Begründe anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von aaa größer oder kleiner ist als 1,5

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Begründe, dass alle Graphen von Funktionen der Schar $g_{k}$ nur einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse haben

Bestimme rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von $g_{k}$ in Abhängigkeit von $k$

(i) Weise nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ auf dem Graphen der Funktion $h$ liegen

(ii) Gib einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ mit $k > 0$ ist

Prüfe rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ vom Parameter $k$ abhängt

(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2{,}6}$ an

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3

Begründe anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von $a$ größer oder kleiner ist als 1,5