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  1. 1

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x)=9(x3)e1,5(x3),x. Der Graph der Funktion f ist in Abbildung 1 dargestellt.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    1. Der Graph der Funktion f hat genau einen Schnittpunkt N mit der x-Achse und genau einen Hochpunkt H.

      Geben Sie die Koordinaten von N an. (1 P)

      Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes H. (2 P)

    2. Der Graph der Funktion f, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=7 schließen eine Fläche ein.

      Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. (2 P)

    3. Geben Sie den Wert von 3wf(x)dx für w und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an. (2 P)

    4. Für jedes 3<u9 sind N(3|0),P(9|0) und Qu(u|f(u)) die Eckpunkte eines Dreiecks.

      (i) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks NPQu in Abhängigkeit von u mit der Gleichung ANPQu(u)=3f(u) berechnen lässt. (2 P)

      (ii) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von u der Flächeninhalt des Dreiecks NPQu maximal wird. (2 P)

      (iii) Bestimmen Sie alle Werte von u, für die das Dreieck NPQu einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat. (2 P)

  2. 2

    Aufgabe 2

    Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x)=9(x3)e1,5(x3),x.

    Für ein z mit 113<z<133 ist der Punkt R(z|f(z)) gegeben. Der Graph der Funktion t ist die Tangente an den Graphen von f im Punkt R. Für x<z wird der Graph von f betrachtet. Für xz wird der Graph von t betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel z=3,9.

    Die betrachteten Graphen der Funktionen f und t schließen mit der x-Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von z kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat:

    I: t(z)=f(z)

    II: t(z)=f(z)

    III: 3zf(x)dx+zct(x)dx=4, wobei c die Nullstelle von t ist.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    1. (i) Begründen Sie die Wahl der Bedingungen I und II. (2 P)

      (ii) Erläutern Sie die linke Seite der Gleichung in Bedingung III. (2 P)

    2. Aus den Bedingungen folgt z3,9428.

      (i) Bestimmen Sie für z=3,9428 rechnerisch eine Gleichung der Funktion t, deren Graph die Tangente an den Graphen von f im Punkt R(z|f(z)) ist. (3 P)

      (ii) Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion t. (1 P)

  3. 3

    Aufgabe 3

    Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

    Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x)=9(x3)e1,5(x3),x.

    Für k und k>0 ist die Funktionenschar gk gegeben durch die Gleichung

    gk(x)=4k2(x3)ek(x3),x.

    Es gilt g1,5=f.

    1. Begründen Sie, dass alle Graphen von Funktionen der Schar gk nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse haben. (2 P)

    2. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von gk in Abhängigkeit von k. [Zur Kontrolle: Die Extremstelle ist x=3+1k.] (5 P)

    3. Gegeben ist die Funktion h mit h(x)=4e(x3) für x,x3.

      (i) Weisen Sie nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar gk auf dem Graphen der Funktion h liegen. (2 P)

      (ii) Geben Sie einen Punkt des Graphen der Funktion h an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar gk mit k>0 ist. (1 P)

    4. Für x3 liegt zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion gk die nach rechts offene Fläche A.

      Prüfen Sie rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche A vom Parameter k abhängt. (3 P)

    5. Die Graphen der Funktionen g1,5 und g2,6 schneiden sich nur im Punkt N(3|0) und in einem weiteren Punkt S.

      (i) Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von g2,6 an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Graphen von g1,5 und g2,6.

      (2 P)

      (ii) Skizzieren Sie mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion g2,6 in Abbildung 3. (2 P)

      Abbildung 3

      Abbildung 3

    6. Für ein a>0 ist der Graph der Funktion ga in Abbildung 3 dargestellt.

      Begründen Sie anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von a größer oder kleiner ist als 1,5. (2 P)

      Abbildung 3

      Abbildung 3


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