B1

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(x-3)}, x \in \mathbb{R}$ . Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.
Abbildung 1
1. Der Graph der Funktion $f$ hat genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$ -Achse und genau einen Hochpunkt $H$ .
  Geben Sie die Koordinaten von $N$ an. (1 P)
  Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $H$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Gib die Koordinaten von $N$ an
  Gegeben ist $f(x)=9 \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(x-3)}$ .
  Für $x = 3$ ist $f (3) = 0$ .
  Da der Graph der Funktion $f$ genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$ -Achse hat, ist $x = 3$ die gesuchte Nullstelle.
  Ermittele die Koordinaten des Punktes $H$
  Lasse Dir den Graphen von $f$ anzeigen und ermittele die Koordinaten des Hochpunktes: $H(3{,}67 \mid 2{,}21)$ . $[$ Ohne Rundung: $H\left(\frac{11}{3} \left\lvert\, \frac{6}{\mathrm{e}}\right.\right)$ $]$ .
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  Teil 1
  Für $x = 3$ ist $f (3) = 0$ .
  Teil 2
  Benutze eine grafische Analyse zur Bestimmung des Hochpunktes.
2. Der Graph der Funktion $f$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = 7$ schließen eine Fläche ein.
  Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Bestimme den Inhalt dieser Fläche
  Die Nullstelle des Graphen von $f$ liegt bei $x = 3$ $\;\Rightarrow\;$ untere Integralgrenze.
  Die obere Integralgrenze ist die Gerade mit der Gleichung $x = 7$ .
  Berechne nun das Integral $\displaystyle\int_{3}^{7} f(x)\; \mathrm{d} x \approx 3{,}93$ .
  Der Inhalt dieser Fläche beträgt rund $3{,}93\;\mathrm{FE}$ .
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  Berechne das Integral $\displaystyle\int_{3}^{7} f(x)\; \mathrm{d} x$ .
3. Geben Sie den Wert von $\displaystyle\int_{3}^{w} f(x)\;\mathrm{d} x$ für $w \rightarrow \infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
  Gib den Wert von $\displaystyle\int_{3}^{w} f(x)\;\mathrm{d} x$ für $w \rightarrow \infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an
  Es ist $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\left(\int_{3}^{w} f(x) \mathrm{d} x\right)=4$ .
  Der Inhalt der nach rechts offenen Fläche (⁣ $x \geq 3$ ) zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion $f$ beträgt $4$ Flächeneinheiten.
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  Berechne $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\left(\int_{3}^{w} f(x) \mathrm{d} x\right)\;\Rightarrow\;A$ .
  Der Inhalt der nach rechts offenen Fläche (⁣ $x \geq 3$ ) zwischen der $x$ -Achse und dem Graphen der Funktion $f$ beträgt $A$ Flächeneinheiten.
4. Für jedes $3<u \leq 9$ sind $N(3 \mid 0), P(9 \mid 0)$ und $Q_{u}(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.
  (i) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ berechnen lässt. (2 P)
  (ii) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ maximal wird. (2 P)
  (iii) Bestimmen Sie alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
  (i) Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ berechnen lässt
  Die Grundseite des Dreiecks $N P Q_{u}$ kann die Strecke $\overline{N P}$ verwendet werden. Deren Länge ist $(9 - 3) = 6$ Längeneinheiten. Die Länge der zugehörigen Höhe ist durch $f (u)$ gegeben.
  Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt dann nach Einsetzen in die Dreiecksflächenformel:
  $A_{N P Q_{u}}(u)=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot f(u)=3 \cdot f(u)$ .
  (ii) Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ maximal wird
  Da der Flächeninhalt immer der dreifache Wert des Funktionswertes $f (u)$ und der Funktionswert im Hochpunkt maximal ist, wird der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ für $u \approx 3{,}67$ maximal. $[$ Ohne Rundung: $u=\frac{11}{3}$ $]$
  (iii) Bestimme alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat
  Es ist $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)=3 \cdot9 \cdot(u-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(u-3)}=27 \cdot(u-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(u-3)}$ .
  Löse mit dem TR ("NLöse") die Gleichung $27 \cdot(u-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(u-3)}=4$
  Man erhält die beiden Werte $u\approx3{,}20 \vee u\approx4{,}58$ .
  Für diese beiden Werte hat das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.
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  (i)
  Als Grundseite des Dreiecks $N P Q_{u}$ kann die Strecke $\overline{N P}$ verwendet werden.
  Die Länge der zugehörigen Höhe ist durch $f (u)$ gegeben.
  Setze in die Dreiecksflächenformel ein.
  (ii)
  Der Flächeninhalt ist immer der dreifache Wert des Funktionswertes $f (u)$ und der Funktionswert ist im Hochpunkt maximal. Was folgt daraus?
  (iii)
  Es ist $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ . Setze $f (u)$ ein und löse die Gleichung $A_{N P Q_{u}}(u)=4$ .
2
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(x-3)}, x \in \mathbb{R}$ .
Für ein $z$ mit $\frac{11}{3}<z<\frac{13}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$ . Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \geq z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 3,9$ .
Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$ -Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat:
I: $\quad t(z)=f(z)$
II: $\quad t^{\prime}(z)=f^{\prime}(z)$
III: $\displaystyle\int_{3}^{z} f(x) \mathrm{d} x+\int_{z}^{c} t(x) \mathrm{d} x=4$ , wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.
Abbildung 2
1. (i) Begründen Sie die Wahl der Bedingungen I und II. (2 P)
  (ii) Erläutern Sie die linke Seite der Gleichung in Bedingung III. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  (i) Begründe die Wahl der Bedingungen I und II
  Die Bedingungen I und II stellen sicher, dass es sich bei der Funktion $t$ um die Tangente an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $R$ handelt bzw. dass der Übergang „knickfrei“ erfolgt.
  (ii) Erläutere die linke Seite der Gleichung in Bedingung III
  Mit dem ersten Integral wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[0; z]$ berechnet.
  Mit dem zweiten Integral wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $t$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[z; c]$ berechnet, wobei $c$ die Nullstelle der Funktion $t$ ist.
  Die Addition der beiden Integrale ergibt den Flächeninhalt der in der Aufgabe beschriebenen Fläche.
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  (i)
  Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit $t$ Tangente an f ist?
  Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit der Übergang zwischen $f$ und $t$ „knickfrei“ erfolgt?
  (ii)
  Es werden zwei Flächen berechnet.
  Um welche Flächen handelt es sich?
  Wie groß ist die Gesamtfläche?
2. Aus den Bedingungen folgt $z \approx 3{,}9428$ .
  (i) Bestimmen Sie für $z = 3,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist. (3 P)
  (ii) Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion $t$ . (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
  (i) Bestimmen Sie für $z = 3,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist
  Gegeben ist $z = 3,9428$ . Berechne $f (3,9428)$ und $f^{\prime}(3{,}9428)$ :
  Dann ist $f^{\prime}(3{,}9428) \approx-0{,}9063$ und $f(3{,}9428) \approx 2{,}0629$ .
  Für die allgemeine Tangentengleichung gilt:
  $y = f^{'} (z) \cdot (x - z) + f (z) y = f ' ( z ) ⋅ ( x − z ) + f (z)$
  Die Funktion $t$ hat somit die Gleichung (gerundete Werte):
  $t(x)=-0{,}9063 \cdot(x-3{,}9428)+2{,}0629 \approx-0{,}9063 \cdot x+5{,}6363$
  Die Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(3{,}9428 \mid f(3{,}9428))$ ist, lautet $t(x)=-0{,}9063 \cdot x+5{,}6363$ .
  (ii) Ermittele die Nullstelle dieser Funktion
  Setze $t (x) = 0$ :
  $0=-0{,}9063 \cdot x+5{,}6363\;\Rightarrow\;x=\dfrac{5{,}6363}{0{,}9063}\approx6{,}22$
  Die Nullstelle dieser Funktion ist $x\approx6{,}22$ .
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  (i)
  Gegeben ist $z = 0,9428$ .
  Berechne $f^{'} (z)$ und $f (z)$ .
  Setze in $t : y = f^{'} (z) \cdot (x - z) + f (z) t: y = f'( z ) ⋅ ( x − z ) + f ( z )$ ein.
  (ii)
  Setze $t (x) = 0$ und löse nach $x$ auf.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Die Aufgabe 3 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(x-3)}, x \in \mathbb{R}$ .
Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_{k}$ gegeben durch die Gleichung
$g_{k}(x)=4 \cdot k^{2} \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}, x \in \mathbb{R}$ .
Es gilt $g_{1{,}5}=f$ .
1. Begründen Sie, dass alle Graphen von Funktionen der Schar $g_{k}$ nur einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse haben. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  Begründe, dass alle Graphen von Funktionen der Schar $g_{k}$ nur einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse haben
  Mit $\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ und $k^{2}>0$ gilt:
  $g_{k}(x)=4 \cdot k^{2} \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}=0 \Leftrightarrow(x-3)=0 \Leftrightarrow x=3$ .
  Somit gibt es nur einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse.
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  Setze $g_{k}(x)=0$ .
2. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von $g_{k}$ in Abhängigkeit von $k$ . $[$ Zur Kontrolle: Die Extremstelle ist $x=3+\frac{1}{k}$ . $]$ (5 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Bestimme rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von $g_{k}$ in Abhängigkeit von $k$
  Gegeben ist $g_{k}(x)=4 \cdot k^{2} \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$ .
  Berechne $g_{k}'(x)=4 \cdot k^{2} \cdot\left(1 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}+(x-3)\cdot(-k)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}\right)$ .
  $g_{k}'(x)=4 \cdot k^{3} \cdot\left(-x+3+\frac{1}{k}\right)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
  Es folgt:
  $g_{k}''(x)=4 \cdot k^{3} \cdot\left(-1 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}+(-x+3+\frac{1}{k})\cdot(-k)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}\right)$
  $g_{k}''(x)=4 \cdot k^{4} \cdot\left(x-3-\frac{2}{k}\right)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
  Aus der notwendigen Bedingung $g_{k}{ }^{\prime}(x)=0$ folgt:
  $-x+3+\frac{1}{k}=0\;\Rightarrow\;x=3+\frac{1}{k}$
  Überprüfe die Art des Extremums mit der 2. Ableitung:
  $g_{k}''(3+\frac{1}{k})=4 \cdot k^{4} \cdot\left(3+\frac{1}{k}-3-\frac{2}{k}\right)\cdot\mathrm{e}^{-k \cdot(3+\frac{1}{k}-3)}$
  $g_{k}''(3+\frac{1}{k})=-4k^3e^{-1}<0$ für alle $k > 0$ .
  Der Graph der Funktion $g_{k}$ hat an der Stelle $x=3+\frac{1}{k}$ einen Hochpunkt.
  Es ist $g_{k}(3+\frac{1}{k})=4 \cdot k^{2} \cdot(3+\frac{1}{k}-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(3+\frac{1}{k}-3)}=4\cdot k\cdot e^{-1}$ und der Hochpunkt hat die Koordinaten $HP_k\left(3+\frac{1}{k}\mid 4\cdot k\cdot e^{-1}\right)$ .
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  Berechne $g_{k}{ }^{\prime}(x)$ und $g_{k}''(x)$ .
  Aus der notwendigen Bedingung $g_{k}{ }^{\prime}(x)=0$ folgt $x_{1}$ .
  Überprüfe die Art des Extremums mit der 2. Ableitung.
  Berechne noch $g_{k} (x_{1})$ und gib die Koordinaten des Extremums an.
3. Gegeben ist die Funktion $h$ mit $h(x)=\frac{4}{\mathrm{e} \cdot(x-3)}$ für $x \in \mathbb{R}, x \neq 3$ .
  (i) Weisen Sie nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ auf dem Graphen der Funktion $h$ liegen. (2 P)
  (ii) Geben Sie einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ mit $k > 0$ ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  (i) Weise nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ auf dem Graphen der Funktion $h$ liegen
  Aus Aufgabe b) ist $HP_k\left(3+\frac{1}{k}\mid4\cdot k\cdot e^{-1}\right)$ .
  Setze $x=3+\frac{1}{k}$ in $h (x)$ ein:
  $h(3+\frac{1}{k})=\dfrac{4}{\mathrm{e} \cdot(3+\frac{1}{k}-3)}=4\cdot k\cdot e^{-1}=y_{HP}$
  Somit liegen alle Extrempunkte auf dem Graphen von $h$ .
  (ii) Gib einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ mit $k > 0$ ist
  $\left(0 \left\lvert\, \frac{4}{-3 \cdot \mathrm{e}}\right.\right)$ ist ein Punkt der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ mit $k > 0$ ist. (In diesem Fall ist $k=-\frac{1}{3}$ und damit nicht größer null.)
  Anmerkung: Alle Punkte des Graphen von $h$ mit $x < 3$ sind zulässige Lösungen.
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  (i)
  Aus Aufgabe b) ist $HP_k\left(3+\frac{1}{k}\mid 4\cdot k\cdot e^{-1}\right)$ . Setze $x=3+\frac{1}{k}$ in $h (x)$ ein.
  (ii)
  Wähle z.B. $x = 0$ und berechne $h (0)$ . Vergleiche für $k > 0$ mit $y_{HP}=4\cdot k\cdot e^{-1}$ .
4. Für $x \geq 3$ liegt zwischen der $x$ -Achse und dem Graphen der Funktion $g_{k}$ die nach rechts offene Fläche $A$ .
  Prüfen Sie rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ vom Parameter $k$ abhängt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Prüfe rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ vom Parameter $k$ abhängt
  Berechne das Integral $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\int_3^w g_k(x)\;\mathrm{d} x$ .
  Eine Stammfunktion von $g_{k} (x)$ ist die Funktion $G_{k}(x)=-4 \cdot k \cdot\left(x-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
  (Nachweis durch Ableitung: $G_{k}^{'} (x) = g_{k} (x)$ )
  Dann ist $\displaystyle\int_{3}^{w} g_{k}(x) \mathrm{d} x=\left[-4 \cdot k \cdot\left(x-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}\right]_{3}^{w}$
  Die Grenzen eingesetzt, erhält man:
  $\displaystyle\int_{3}^{w} g_{k}(x) \mathrm{d} x=-4 \cdot k \cdot\left(w-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(w-3)}-(-4)$
  $=-4 \cdot k \cdot\left(w-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(w-3)}+4$
  Der erste Summand wird von $\mathrm{e}^{-k \cdot(w-3)}$ dominiert.
  Mit $k > 0$ gilt: $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{-k \cdot(w-3)}\right)=0$
  Es folgt: $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\left(\int_{3}^{w} g_{k}(x) \;\mathrm{d} x\right)=4$ .
  Der Flächeninhalt der Fläche $A$ beträgt somit, unabhängig vom Parameter $k, 4$ Flächeneinheiten.
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  Berechne das Integral $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\int_3^w g_k(x)\;\mathrm{d} x$ .
  Berechne zunächst $\displaystyle\int_3^w g_k(x)\;\mathrm{d} x=A(w)$
  Eine Stammfunktion von $g_{k} (x)$ ist die Funktion $G_{k}(x)=-4 \cdot k \cdot\left(x-3+\frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
  Berechne dann $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}A(w)$ .
5. Die Graphen der Funktionen $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$ schneiden sich nur im Punkt $N(3 \mid 0)$ und in einem weiteren Punkt $S$ .
  (i) Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2{,}6}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$ .
  (2 P)
  (ii) Skizzieren Sie mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3. (2 P)
  Abbildung 3
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  (i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2{,}6}$ an
  Gegeben sind $g_{1{,}5}(x)=f(x)=9 \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(x-3)}$ und
  $g_{2{,}6}(x)=4 \cdot 2{,}6^{2} \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}=27{,}04\cdot (x-3) \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot(x-3)}$
  Betrachte die Graphen der beiden Funktionen. Für den Hochpunkt des Graphen von $g_{2{,}6}$ erhält man $x_{HP}\approx 3{,}38$ und $y_{HP}\approx3{,}83\;\Rightarrow\;HP(3{,}38\mid 3{,}83)$
  Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$
  Die grafische Analyse ergibt den ungefähren Schnittpunkt $S(4 \mid 2)$ .
  (ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3
  Es sind $HP(3{,}38\mid 3{,}83)$ und $S(4 \mid 2)$ gegeben.
  Zeichne die Punkte in die Abbildung ein und verbinde sie mit einem passenden Graphen.
  Abbildung 3
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  (i)
  Teil 1
  Betrachte die Graphen der beiden Funktionen und lasse Dir den Hochpunkt $H P$ des Graphen von $g_{2{,}6}$ anzeigen.
  Teil 2
  Die grafische Analyse ergibt den ungefähren Schnittpunkt $S$ .
  (ii)
  Zeichne die Punkte $H P$ und $S$ in die Abbildung ein und verbinde sie mit einem passenden Graphen.
6. Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_{a}$ in Abbildung 3 dargestellt.
  Begründen Sie anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von $a$ größer oder kleiner ist als $1,5$ . (2 P)
  Abbildung 3
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Begründe anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von $a$ größer oder kleiner ist als 1,5
  Die $y$ -Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{a}$ ist größer als die $y$ -Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{1{,}5}$ . Da die $y$ -Koordinate des Hochpunktes linear mit $k$ wächst, muss der Parameter $a$ größer sein als $1,5$ . (Alternativ kann anhand der $x$ -Koordinate argumentiert werden.)
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  Die $y$ -Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{a}$ ist größer als die $y$ -Koordinate des Hochpunktes des Graphen von $g_{1{,}5}$ .
  Die $y$ -Koordinate des Hochpunktes wächst linear mit $k$ .
  Was bedeutet das für den Wert von $k$ ?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

B1

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten von NNN an

Ermittele die Koordinaten des Punktes HHH

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Bestimme den Inhalt dieser Fläche

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Gib den Wert von ∫3wf(x) dx\displaystyle\int_{3}^{w} f(x)\;\mathrm{d} x∫3w​f(x)dx für w→∞w \rightarrow \inftyw→∞ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an

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(i) Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks NPQuN P Q_{u}NPQu​ in Abhängigkeit von uuu mit der Gleichung ANPQu(u)=3⋅f(u)A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)ANPQu​​(u)=3⋅f(u) berechnen lässt

(ii) Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von uuu der Flächeninhalt des Dreiecks NPQuN P Q_{u}NPQu​ maximal wird

(iii) Bestimme alle Werte von uuu, für die das Dreieck NPQuN P Q_{u}NPQu​ einen Flächeninhalt von 444 Flächeneinheiten hat

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Aufgabe 2

(i) Begründe die Wahl der Bedingungen I und II

(ii) Erläutere die linke Seite der Gleichung in Bedingung III

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(i) Bestimmen Sie für z=3,9428z=3{,}9428z=3,9428 rechnerisch eine Gleichung der Funktion ttt, deren Graph die Tangente an den Graphen von fff im Punkt R(z∣f(z))R(z \mid f(z))R(z∣f(z)) ist

(ii) Ermittele die Nullstelle dieser Funktion

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Aufgabe 3

Begründe, dass alle Graphen von Funktionen der Schar gkg_{k}gk​ nur einen Schnittpunkt mit der xxx-Achse haben

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Bestimme rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von gkg_{k}gk​ in Abhängigkeit von kkk

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(i) Weise nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar gkg_{k}gk​ auf dem Graphen der Funktion hhh liegen

(ii) Gib einen Punkt des Graphen der Funktion hhh an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar gkg_{k}gk​ mit k>0k>0k>0 ist

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Prüfe rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche AAA vom Parameter kkk abhängt

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(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von g2,6g_{2{,}6}g2,6​ an

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes SSS der Graphen von g1,5g_{1{,}5}g1,5​ und g2,6g_{2{,}6}g2,6​

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion g2,6g_{2{,}6}g2,6​ in Abbildung 3

Abbildung 3

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Begründe anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von aaa größer oder kleiner ist als 1,5

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Gib die Koordinaten von $N$ an

Ermittele die Koordinaten des Punktes $H$

Gib den Wert von $\displaystyle\int_{3}^{w} f(x)\;\mathrm{d} x$ für $w \rightarrow \infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an

(i) Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ berechnen lässt

(ii) Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ maximal wird

(iii) Bestimme alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat

(i) Bestimmen Sie für $z = 3,9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$ , deren Graph die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R(z \mid f(z))$ ist

Begründe, dass alle Graphen von Funktionen der Schar $g_{k}$ nur einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse haben

Bestimme rechnerisch die Koordinaten und die Art des Extrempunktes des Graphen von $g_{k}$ in Abhängigkeit von $k$

(i) Weise nach, dass alle Extrempunkte der Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ auf dem Graphen der Funktion $h$ liegen

(ii) Gib einen Punkt des Graphen der Funktion $h$ an, der kein Extrempunkt eines Graphen der Funktionenschar $g_{k}$ mit $k > 0$ ist

Prüfe rechnerisch, ob der Inhalt der Fläche $A$ vom Parameter $k$ abhängt

(i) Gib die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $g_{2{,}6}$ an

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$

(ii) Skizziere mithilfe dieser Punkte den Graphen der Funktion $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3

Begründe anhand des Hochpunktes ohne weitere Berechnung, ob der Wert von $a$ größer oder kleiner ist als 1,5