B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f (x) = 9 \cdot (x - 3) \cdot e^{- 1,5 \cdot (x - 3)}, x \in ℝ$ . Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Der Graph der Funktion $f$ hat genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$ -Achse und genau einen Hochpunkt $H$ .
Geben Sie die Koordinaten von $N$ an. (1 P)
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $H$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Gib die Koordinaten von $N$ an
Gegeben ist $f (x) = 9 \cdot (x - 3) \cdot e^{- 1,5 \cdot (x - 3)}$ .
Für $x = 3$ ist $f (3) = 0$ .
Da der Graph der Funktion $f$ genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$ -Achse hat, ist $x = 3$ die gesuchte Nullstelle.
Ermittele die Koordinaten des Punktes $H$
Lasse Dir den Graphen von $f$ anzeigen und ermittele die Koordinaten des Hochpunktes: $H (3,67 | 2,21)$ . $[$ Ohne Rundung: $H (\frac{11}{3} | \frac{6}{e})$ $]$ .
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Teil 1
Für $x = 3$ ist $f (3) = 0$ .
Teil 2
Benutze eine grafische Analyse zur Bestimmung des Hochpunktes.
Der Graph der Funktion $f$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = 7$ schließen eine Fläche ein.
Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme den Inhalt dieser Fläche
Die Nullstelle des Graphen von $f$ liegt bei $x = 3$ $\Rightarrow$ untere Integralgrenze.
Die obere Integralgrenze ist die Gerade mit der Gleichung $x = 7$ .
Berechne nun das Integral $\int_{3}^{7} f (x) d x \approx 3,93$ .
Der Inhalt dieser Fläche beträgt rund $3,93 FE$ .
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Berechne das Integral $\int_{3}^{7} f (x) d x$ .
Geben Sie den Wert von $\int_{3}^{w} f (x) d x$ für $w \to \infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Gib den Wert von $\int_{3}^{w} f (x) d x$ für $w \to \infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an
Es ist $\lim_{w \to \infty} (\int_{3}^{w} f (x) d x) = 4$ .
Der Inhalt der nach rechts offenen Fläche (⁣ $x \geq 3$ ) zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion $f$ beträgt $4$ Flächeneinheiten.
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Berechne $\lim_{w \to \infty} (\int_{3}^{w} f (x) d x) \Rightarrow A$ .
Der Inhalt der nach rechts offenen Fläche (⁣ $x \geq 3$ ) zwischen der $x$ -Achse und dem Graphen der Funktion $f$ beträgt $A$ Flächeneinheiten.
Für jedes $3 < u \leq 9$ sind $N (3 | 0), P (9 | 0)$ und $Q_{u} (u | f (u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.
(i) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{N P Q_{u}} (u) = 3 \cdot f (u)$ berechnen lässt. (2 P)
(ii) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ maximal wird. (2 P)
(iii) Bestimmen Sie alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
(i) Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{N P Q_{u}} (u) = 3 \cdot f (u)$ berechnen lässt
Die Grundseite des Dreiecks $N P Q_{u}$ kann die Strecke $N P$ verwendet werden. Deren Länge ist $(9 - 3) = 6$ Längeneinheiten. Die Länge der zugehörigen Höhe ist durch $f (u)$ gegeben.
Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt dann nach Einsetzen in die Dreiecksflächenformel:
$A_{N P Q_{u}} (u) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot f (u) = 3 \cdot f (u)$ .
(ii) Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ maximal wird
Da der Flächeninhalt immer der dreifache Wert des Funktionswertes $f (u)$ und der Funktionswert im Hochpunkt maximal ist, wird der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ für $u \approx 3,67$ maximal. $[$ Ohne Rundung: $u = \frac{11}{3}$ $]$
(iii) Bestimme alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat
Es ist $A_{N P Q_{u}} (u) = 3 \cdot f (u) = 3 \cdot 9 \cdot (u - 3) \cdot e^{- 1,5 \cdot (u - 3)} = 27 \cdot (u - 3) \cdot e^{- 1,5 \cdot (u - 3)}$ .
Löse mit dem TR ("NLöse") die Gleichung $27 \cdot (u - 3) \cdot e^{- 1,5 \cdot (u - 3)} = 4$
Man erhält die beiden Werte $u \approx 3,20 \lor u \approx 4,58$ .
Für diese beiden Werte hat das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.
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(i)
Als Grundseite des Dreiecks $N P Q_{u}$ kann die Strecke $N P$ verwendet werden.
Die Länge der zugehörigen Höhe ist durch $f (u)$ gegeben.
Setze in die Dreiecksflächenformel ein.
(ii)
Der Flächeninhalt ist immer der dreifache Wert des Funktionswertes $f (u)$ und der Funktionswert ist im Hochpunkt maximal. Was folgt daraus?
(iii)
Es ist $A_{N P Q_{u}} (u) = 3 \cdot f (u)$ . Setze $f (u)$ ein und löse die Gleichung $A_{N P Q_{u}} (u) = 4$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten von N an

Ermittele die Koordinaten des Punktes H

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Bestimme den Inhalt dieser Fläche

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Gib den Wert von ∫3wf(x)dx für w→∞ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an

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(i) Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks NPQu in Abhängigkeit von u mit der Gleichung ANPQu(u)=3⋅f(u) berechnen lässt

(ii) Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von u der Flächeninhalt des Dreiecks NPQu maximal wird

(iii) Bestimme alle Werte von u, für die das Dreieck NPQu einen Flächeninhalt von 4 Flächeneinheiten hat

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Gib die Koordinaten von $N$ an

Ermittele die Koordinaten des Punktes $H$

Gib den Wert von $\int_{3}^{w} f (x) d x$ für $w \to \infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an

(i) Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{N P Q_{u}} (u) = 3 \cdot f (u)$ berechnen lässt

(ii) Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ maximal wird

(iii) Bestimme alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat