B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=9 \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(x-3)}, x \in \mathbb{R}$ . Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Der Graph der Funktion $f$ hat genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$ -Achse und genau einen Hochpunkt $H$ .
Geben Sie die Koordinaten von $N$ an. (1 P)
Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $H$ . (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Gib die Koordinaten von $N$ an
Gegeben ist $f(x)=9 \cdot(x-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(x-3)}$ .
Für $x = 3$ ist $f (3) = 0$ .
Da der Graph der Funktion $f$ genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$ -Achse hat, ist $x = 3$ die gesuchte Nullstelle.
Ermittele die Koordinaten des Punktes $H$
Lasse Dir den Graphen von $f$ anzeigen und ermittele die Koordinaten des Hochpunktes: $H(3{,}67 \mid 2{,}21)$ . $[$ Ohne Rundung: $H\left(\frac{11}{3} \left\lvert\, \frac{6}{\mathrm{e}}\right.\right)$ $]$ .
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Teil 1
Für $x = 3$ ist $f (3) = 0$ .
Teil 2
Benutze eine grafische Analyse zur Bestimmung des Hochpunktes.
Der Graph der Funktion $f$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = 7$ schließen eine Fläche ein.
Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme den Inhalt dieser Fläche
Die Nullstelle des Graphen von $f$ liegt bei $x = 3$ $\;\Rightarrow\;$ untere Integralgrenze.
Die obere Integralgrenze ist die Gerade mit der Gleichung $x = 7$ .
Berechne nun das Integral $\displaystyle\int_{3}^{7} f(x)\; \mathrm{d} x \approx 3{,}93$ .
Der Inhalt dieser Fläche beträgt rund $3{,}93\;\mathrm{FE}$ .
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Berechne das Integral $\displaystyle\int_{3}^{7} f(x)\; \mathrm{d} x$ .
Geben Sie den Wert von $\displaystyle\int_{3}^{w} f(x)\;\mathrm{d} x$ für $w \rightarrow \infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Gib den Wert von $\displaystyle\int_{3}^{w} f(x)\;\mathrm{d} x$ für $w \rightarrow \infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an
Es ist $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\left(\int_{3}^{w} f(x) \mathrm{d} x\right)=4$ .
Der Inhalt der nach rechts offenen Fläche (⁣ $x \geq 3$ ) zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion $f$ beträgt $4$ Flächeneinheiten.
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Berechne $\displaystyle\lim _{w \rightarrow \infty}\left(\int_{3}^{w} f(x) \mathrm{d} x\right)\;\Rightarrow\;A$ .
Der Inhalt der nach rechts offenen Fläche (⁣ $x \geq 3$ ) zwischen der $x$ -Achse und dem Graphen der Funktion $f$ beträgt $A$ Flächeneinheiten.
Für jedes $3<u \leq 9$ sind $N(3 \mid 0), P(9 \mid 0)$ und $Q_{u}(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.
(i) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ berechnen lässt. (2 P)
(ii) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ maximal wird. (2 P)
(iii) Bestimmen Sie alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat. (2 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck
(i) Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ berechnen lässt
Die Grundseite des Dreiecks $N P Q_{u}$ kann die Strecke $\overline{N P}$ verwendet werden. Deren Länge ist $(9 - 3) = 6$ Längeneinheiten. Die Länge der zugehörigen Höhe ist durch $f (u)$ gegeben.
Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt dann nach Einsetzen in die Dreiecksflächenformel:
$A_{N P Q_{u}}(u)=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot f(u)=3 \cdot f(u)$ .
(ii) Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ maximal wird
Da der Flächeninhalt immer der dreifache Wert des Funktionswertes $f (u)$ und der Funktionswert im Hochpunkt maximal ist, wird der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ für $u \approx 3{,}67$ maximal. $[$ Ohne Rundung: $u=\frac{11}{3}$ $]$
(iii) Bestimme alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat
Es ist $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)=3 \cdot9 \cdot(u-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(u-3)}=27 \cdot(u-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(u-3)}$ .
Löse mit dem TR ("NLöse") die Gleichung $27 \cdot(u-3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5 \cdot(u-3)}=4$
Man erhält die beiden Werte $u\approx3{,}20 \vee u\approx4{,}58$ .
Für diese beiden Werte hat das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.
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(i)
Als Grundseite des Dreiecks $N P Q_{u}$ kann die Strecke $\overline{N P}$ verwendet werden.
Die Länge der zugehörigen Höhe ist durch $f (u)$ gegeben.
Setze in die Dreiecksflächenformel ein.
(ii)
Der Flächeninhalt ist immer der dreifache Wert des Funktionswertes $f (u)$ und der Funktionswert ist im Hochpunkt maximal. Was folgt daraus?
(iii)
Es ist $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ . Setze $f (u)$ ein und löse die Gleichung $A_{N P Q_{u}}(u)=4$ .

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 1

Gib die Koordinaten von NNN an

Ermittele die Koordinaten des Punktes HHH

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Bestimme den Inhalt dieser Fläche

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Gib den Wert von ∫3wf(x) dx\displaystyle\int_{3}^{w} f(x)\;\mathrm{d} x∫3w​f(x)dx für w→∞w \rightarrow \inftyw→∞ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an

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(i) Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks NPQuN P Q_{u}NPQu​ in Abhängigkeit von uuu mit der Gleichung ANPQu(u)=3⋅f(u)A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)ANPQu​​(u)=3⋅f(u) berechnen lässt

(ii) Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von uuu der Flächeninhalt des Dreiecks NPQuN P Q_{u}NPQu​ maximal wird

(iii) Bestimme alle Werte von uuu, für die das Dreieck NPQuN P Q_{u}NPQu​ einen Flächeninhalt von 444 Flächeneinheiten hat

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Gib die Koordinaten von $N$ an

Ermittele die Koordinaten des Punktes $H$

Gib den Wert von $\displaystyle\int_{3}^{w} f(x)\;\mathrm{d} x$ für $w \rightarrow \infty$ und die geometrische Bedeutung dieses Wertes an

(i) Begründe, dass sich der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{N P Q_{u}}(u)=3 \cdot f(u)$ berechnen lässt

(ii) Begründe ohne weitere Rechnung, für welchen Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $N P Q_{u}$ maximal wird

(iii) Bestimme alle Werte von $u$ , für die das Dreieck $N P Q_{u}$ einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat