Der Graph zeigt Kerze B. Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse zeigt die Kerzenhöhe $6\text{ cm}6\backslash cm$.

Schnittpunkt der Graphen

$S(20\mathrm{\mid }4)S(20|4)$

Der Schnittpunkt der beiden Graphen zeigt den Punkt, an dem beide Kerzen bei gleicher Brenndauer (x-Achse) gleich hoch sind (y-Achse).

Eine lineare Funktion hat die Form $f(x)=m\cdot x+bf(x)=m\backslash cdot\; x\; +b$

Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse gibt die Kerzenhöhe bei einer Brenndauer von 0 Minuten an, d.h. der x-Wert ist an dieser Stelle gleich $00$.

Am Graphen für die Kerze B ergibt sich an der Stelle $x=0x=0$ für die Funktionsgleichung

$b=6b=6$

In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass die Kerze B pro Minute $\mathrm{0,1}\text{ cm}0\{,\}1\backslash cm$ abbrennt. Dies gibt die Steigung der Funktion an. Die Kerze brennt ab und wird kürzer. Deshalb ist der Wert der Steigung negativ.

$m=-\mathrm{0,1}m=-0\{,\}1$

Die Funktionsgleichung für die Kerze B lautet

$y=-\mathrm{0,1}x+6y=-0\{,\}1x+6$

1. Aussage

In den Funktionsgleichungen der beiden Kerzen

$\text{B:}y=-\mathrm{0,1}x+6\backslash text\{B:\}\backslash quad\; y=-0\{,\}1x+6$

$\text{C:}y=-\mathrm{0,2}x+7\backslash text\{C:\}\backslash quad\; y=-0\{,\}2x+7$

beschreibt der Koeffizient von $xx$ die Geschwindigkeit, mit der die Kerze abbrennt.

Der Wert $-\mathrm{0,2}-0\{,\}2$ in der Funktionsgleichung der Kerze C zeigt, dass der Graph der Funktion steiler verläuft und die Kerze somit schneller abbrennt.

Die erste Aussage ist falsch.

2. Aussage

Eine proportionale Funktion geht immer durch den Ursprung, d.h. für $x=0x=0$ erhält man immer $y=0y=0$.

Die Funktionsgleichung $y=-\mathrm{0,2}x+7y=-0\{,\}2x+7$ ergibt für $x=0x=0$ den Wert $y=7y=7$.

Die zweite Aussage ist falsch.

Die allgemeine Funktionsgleichung für beide Kerzen ist

$y=m\cdot x+by=m\backslash cdot\; x+b$

Parameter b

Der Wert $bb$ gibt die Länge der Kerzen an.

Aus der Funktionsgleichung von Kerze C kann ihre Länge mit $b=7b=7$ abgelesen werden.

Kerze D ist doppelt so lang wie Kerze C. Damit ergibt sich für Kerze D eine Länge von $b=14b=14$.

Parameter m

Zunächst wird die Brenndauer von Kerze C berechnet. Dies ist der Wert von $xx$, wenn in der Funktionsgleichung $y=0y=0$ gesetzt wird.

$0=-\mathrm{0,2}x+70=-0\{,\}2x+7$

$-7=-\mathrm{0,2}x-7=-0\{,\}2x$

$x=35x=35$

Da beide Kerzen die gleiche Brenndauer haben, kann man in die Funktionsgleichung für Kerze D für $y=0y=0$ den Wert $x=35x=35$ einsetzen und so die Steigung $mm$ errechnen.

$0=m\cdot 35+140=m\backslash cdot35+14$

$-14=m\cdot 35-14=m\backslash cdot\; 35$

$m={\displaystyle \frac{-14}{35}}=-\mathrm{0,4}m=\backslash dfrac\{-14\}\{35\}=-0\{,\}4$

Funktionsgleichung Kerze D

Durch Einsetzen von $mm$ und $bb$ erhält man die Funktionsgleichung für Kerze D

$y=-\mathrm{0,4}x+14y=-0\{,\}4x+14$