Wahlteil

Die Klasse 9 plant einen Pizzaverkauf auf dem Stadtfest. Es sollen 80 Pizzen hergestellt werden.

Ergänze die fehlenden Mengenangaben.

[ 2 Pkte ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreisatz

4 Personen	80 Personen
$400\,\text{g}$ Mehl	$\textcolor{ff6600}{8\,000\,\text{g}}$ Mehl $\left(400\cdot 20=8\,000\right)$
$\dfrac{1}{5}\l$ Wasser	$\textcolor{ff6600}{4\l}$ Wasser $\left(\dfrac{1}{5}\cdot 20=4\right)$
$\textcolor{ff6600}{0{,}5}$ Würfel Hefe $\left(0{,}5\cdot\dfrac{1}{20}=10\right)$	$10$ Würfel Hefe
$1$ Esslöffel Öl	$\textcolor{ff6600}{20}$ Esslöffel Öl $\left(1\cdot 20=20\right)$

Mengen für $80$ Personen umrechnen

Die Mengen für 4 Personen sind gegeben.

Um diese Mengen für $80$ Personen umzurechnen, müssen sie mit $\dfrac{80}{4}=20$ multipliziert werden.

Mengen für $4$ Personen umrechnen

Die Menge für $80$ Personen ist gegeben.

Um diese Menge für $4$ Personen umzurechnen, muss sie mit $\dfrac{4}{80}=\dfrac{1}{20}$ multipliziert werden.

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Für die Zutaten wurden 50 € ausgegeben. Beim Verkauf aller 80 Pizzen soll ein Gewinn von 150 € erwirtschaftet werden.
Berechne den Verkaufspreis für eine Pizza.
[ 2 Pkte ]
Berechnung der Einnahmen
Um einen Gewinn von $150$ € zu erzielen, muss für die Pizzen eine Einnahme $E$ von
$E=\text{Gewinn}+\text{Kosten}=150+50=200$
erzielt werden.
Berechnung des Verkaufspreises
Zur Berechnung des Verkaufspreises einer Pizza wird die Einnahme durch die Anzahl der verkauften Pizzen dividiert.
$\dfrac{200}{80}=2{,}5$
Der Verkaufspreis für eine Pizza beträgt $2,50$ €.
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Berechne zunächst die erforderlichen Einnahmen, um einen Gewinn von $150$ € zu erwirtschaften.
Berechne dann den Preis für eine Pizza
Ein Pizzalieferant produziert kreisrunde Maxi-Pizzen mit dem Radius $r = 20 \cm$ . Jede Pizza passt genau in eine Schachtel mit quadratischer Grundfläche und der
Höhe $h_K = 3{,}5 \cm$ .
Berechne das Volumen der Schachtel.
[ 3 Pkte ]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quader
Seitenlänge der Schachtel
Damit die runde Pizza in die Schachtel mit quadratischer Grundfläche passt, muss die Seitenlänge $a$ der Schachtel gleich dem Durchmesser der Pizza sein.
$a=2\cdot r=2\cdot 20=40$
Volumen der Schachtel
Volumen $V$ eines Quaders
$V=\text{Länge}\cdot\text{Breite}\cdot\text{Höhe}$
Werte einsetzen
$V=40\cdot 40\cdot3{,}5=5\,600$
Die Schachtel hat ein Volumen von $5\,600\cm^3$ .
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Berechne die Seitenlänge der quadratischen Schachtel
Berechne das Volumen der Schachtel
In einen Karton passen eine Maxi-Pizza oder 4 Mini-Pizzen. Peter behauptet: „Wenn ich die Maxi-Pizza wähle, kann ich mehr Pizza essen
als bei den 4 Mini-Pizzen.“
Hat er Recht? Kreuze an und begründe.
[ 3 Pkte ]
- Ja, er hat Recht.
- Nein, er hat nicht Recht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Die Maxi-Pizza hat den gleichen Flächeninhalt wie alle $4$ Mini-Pizzen zusammen, da der Radius einer Maxi-Pizza doppelt so groß ist, wie der einer Mini-Pizza.
Somit hat die Maxi-Pizza den vierfachen Flächeninhalt einer Mini-Pizza.
Peter hat nicht recht.
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Vergleiche den Radius der Mini-Pizza mit dem Radius der Maxi-Pizza.
Vergleiche den Flächeninhalt der $4$ Mini-Pizzen mit dem der Maxi-Pizza

2
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Kerzen haben eine unterschiedliche Brenndauer.
Kerze A: Eine 8 cm lange Kerze brennt gleichmäßig in 40 Minuten ab.
Kerze B: Eine 6 cm lange Kerze brennt gleichmäßig pro Minute 0,1 cm ab.
1. Beschrifte den Graphen.
  [ 1 Pkt ]
  
  Der Graph zeigt Kerze B. Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse zeigt die Kerzenhöhe $6\cm$ .
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  Interpretiere den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse
  Interpretiere
2. Zeichne den fehlenden Graphen in das Koordinatensystem ein. Gib den Schnittpunkt der beiden Graphen an.
  Schnittpunkt S ( ___ | ___ )
  Erkläre die Bedeutung des Schnittpunktes in Bezug auf die Kerzen.
  [ 3 Pkte ]
  
  Schnittpunkt der Graphen
  $S (20 ∣ 4)$
  Der Schnittpunkt der beiden Graphen zeigt den Punkt, an dem beide Kerzen bei gleicher Brenndauer (x-Achse) gleich hoch sind (y-Achse).
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3. Stelle die Funktionsgleichung für die Kerze B auf.
  Kerze B: y = ______ x + ______
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Eine lineare Funktion hat die Form $f(x)=m\cdot x +b$
  Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse gibt die Kerzenhöhe bei einer Brenndauer von 0 Minuten an, d.h. der x-Wert ist an dieser Stelle gleich $0$ .
  Am Graphen für die Kerze B ergibt sich an der Stelle $x = 0$ für die Funktionsgleichung
  $b = 6$
  In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass die Kerze B pro Minute $0{,}1\cm$ abbrennt. Dies gibt die Steigung der Funktion an. Die Kerze brennt ab und wird kürzer. Deshalb ist der Wert der Steigung negativ.
  $m = - 0,1$
  Die Funktionsgleichung für die Kerze B lautet
  $y = - 0,1 x + 6$
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  Analysiere den Verlauf des Graphen für die Kerze B
  Interpretiere den Schnittpunkt mit der y-Achse
  Ermittle die Steigung
4. Die Funktionsgleichung $y = - 0,2 x + 7$ beschreibt das Abbrennen einer Kerze C.
  Kreuze an, ob die jeweilige Aussage wahr oder falsch ist.
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  1. Aussage
  In den Funktionsgleichungen der beiden Kerzen
  $\text{B:}\quad y=-0{,}1x+6$
  $\text{C:}\quad y=-0{,}2x+7$
  beschreibt der Koeffizient von $x$ die Geschwindigkeit, mit der die Kerze abbrennt.
  Der Wert $- 0,2$ in der Funktionsgleichung der Kerze C zeigt, dass der Graph der Funktion steiler verläuft und die Kerze somit schneller abbrennt.
  Die erste Aussage ist falsch.
  2. Aussage
  Eine proportionale Funktion geht immer durch den Ursprung, d.h. für $x = 0$ erhält man immer $y = 0$ .
  Die Funktionsgleichung $y = - 0,2 x + 7$ ergibt für $x = 0$ den Wert $y = 7$ .
  Die zweite Aussage ist falsch.
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5. Eine andere Kerze D ist doppelt so lang wie die Kerze C, soll aber die gleiche Abbrenndauer haben. Notiere eine passende Funktionsgleichung.
  Kerze C: y = − 0,2 x + 7
  Kerze D: y = _______ x + _______
  [ 2 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Die allgemeine Funktionsgleichung für beide Kerzen ist
  $y=m\cdot x+b$
  Parameter b
  Der Wert $b$ gibt die Länge der Kerzen an.
  Aus der Funktionsgleichung von Kerze C kann ihre Länge mit $b = 7$ abgelesen werden.
  Kerze D ist doppelt so lang wie Kerze C. Damit ergibt sich für Kerze D eine Länge von $b = 14$ .
  Parameter m
  Zunächst wird die Brenndauer von Kerze C berechnet. Dies ist der Wert von $x$ , wenn in der Funktionsgleichung $y = 0$ gesetzt wird.
  $0 = - 0,2 x + 7$
  $- 7 = - 0,2 x$
  $x = 35$
  Da beide Kerzen die gleiche Brenndauer haben, kann man in die Funktionsgleichung für Kerze D für $y = 0$ den Wert $x = 35$ einsetzen und so die Steigung $m$ errechnen.
  $0=m\cdot35+14$
  $-14=m\cdot 35$
  $m=\dfrac{-14}{35}=-0{,}4$
  Funktionsgleichung Kerze D
  Durch Einsetzen von $m$ und $b$ erhält man die Funktionsgleichung für Kerze D
  $y = - 0,4 x + 14$
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  Lies aus der Funktionsgleichung von Kerze C ihre Länge ab und errechne die Länge von Kerze D
  Berechne die Brenndauer von Kerze C und setze sie in die Funktionsgleichung von Kerze D ein.
  Berechne daraus die Steigung der Funktion von Kerze D
3
Niedersächsisches Kultusministerium (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Kultusministerium Niedersachsen zur Verfügung gestellt --- Die Lösungsvorschläge dagegen sind NICHT vom Land Niedersachsen
Sonja macht eine Ausbildung in einer Gärtnerei. In der Abbildung siehst du ihre Lohnabrechnung für den Monat März im 1. Ausbildungsjahr. Von ihrem Bruttolohn werden Beiträge abgezogen. Der Nettolohn wird auf das Konto überwiesen.
1. Berechne die fehlenden Angaben und trage sie in die Tabelle ein.
  [ 4 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  Rentenversicherungsbeitrag
  Gesucht ist der Prozentwert $W$
  $W=\text{Prozentsatz}\cdot\text{Grundwert}$
  $W=0{,}093\cdot 830=77{,}19$
  Sonja muss $77,19$ € Rentenversicherung zahlen
  Arbeitslosenversicherung
  Gesucht ist der Prozentsatz $p$
  $p=\dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$
  $p=\dfrac{9{,}96}{830}=0{,}012\ \hat{=}\ 1{,}2\%$
  Sonja muss $1,2 %$ Arbeitslosenversicherung zahlen.
  Nettolohn
  Gesucht Prozentwert W
  $W=\text{Prozentsatz}\cdot\text{Grundwert}$
  $W=0{,}80675\cdot 830=669{,}6025$
  Sonja erhält einen Nettolohn von $669,60$ €.
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  Verwende die Formeln zur Prozentrechnung und berechne Prozentwert und Prozentsatz
2. Bis zu einem Brutto-Jahreseinkommen von 9 984 € muss keine Lohnsteuer bezahlt werden.
  Berechne, wie viel Sonja im Monat verdienen darf, so dass sie keine Lohnsteuer bezahlen muss.
  [ 1 Pkt ]
  
  $9\,984$ € ist das steuerfreie Jahreseinkommen.
  Dies entspricht einem Monatseinkommen von
  $\dfrac{9\,984}{12}=832$
  Sonja darf maximal $832$ € monatlich verdienen, um keine Lohnsteuer zahlen zu müssen.
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  Teile das Jahreseinkommen durch die Anzahl der Monate
3. Sonja behauptet: „Mir wird ungefähr $\displaystyle\frac{1}{5}\$ vom Bruttolohn abgezogen.“
  Hat Sonja Recht? Kreuze an und begründe.
  [ 2 Pkte ]
  Ja, sie hat Recht.
  Nein, sie hat nicht Recht.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozent- und Zinsrechnung
  Gesamtabzüge
  Sonja gesamte Abzüge errechnen sich aus
  $\text{Bruutolohn}-\text{Nettolohn}$
  $830 - 669,60 = 160,40$
  Prozentsatz $p$ berechnen
  $p=\dfrac{Prozentwert}{Grundwert}$
  $p=\dfrac{160{,}4}{830}\approx 0{,}19325$
  Vergleich
  Sonja hat recht. Ihr werden $19{,}325\%$ vom Gehalt abgezogen. Das sind ungefähr $20 %$ , also $\dfrac{1}{5}$ .
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  Berechne den Prozentsatz der gesamten Abzüge
  Vergleiche mit der Aussage und entscheide
4. Im 3. Ausbildungsjahr erhält Sonja einen monatlichen Bruttolohn von 1 050 €.
  Berechne, um wie viel Prozent der Bruttolohn vom 1. zum 3. Ausbildungsjahr zunimmt.
  [ 3 Pkte ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung mittels Formeln
  Gesucht ist der Prozentsatz $p$ , um den Sonjas Gehalt vom ersten zum dritten Ausbildungsjahr steigt.
  $p=\dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}$
  $p=\dfrac{1\,050}{830}\approx 1{,}2651$
  Ihr Gehalt im dritten Ausbildungsjahr beträgt $126{,}51\%$ des Gehalts im ersten Ausbildungsjahr.
  Der Bruttolohn hat um $26{,}51\%$ zugenommen.
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Fritz hat ein Zahlenschloss mit einer zufälligen Ziffernkombination. Die Kombination seines Schlosses besteht aus 4 Stellen mit den Ziffern 0 bis 9.

Entscheide, ob die folgenden Ereignisse sicher, möglich oder unmöglich sind. Kreuze an.
[ 3 Pkte ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit
1. Ereignis
Das Zahlenschloss hat vier Stellen.
Da es sich um unabhängige Ereignisse handelt, ist an jeder Stelle eine Ziffer "größer als $7$ " möglich.
2. Ereignis
Das Zahlenschloss hat nur vier Stellen.
Eine Ziffernfolge mit fünf Stellen ist nicht möglich.
Die Ziffernkombination " $1 - 2 - 3 - 4 - 5$ " ist unmöglich.
3. Ereignis
Alle Zahlen "kleiner als $10\,000$ " haben genau vier Stellen, wenn sie mit führenden Nullen aufgefüllt werden, z.B. $13\ \hat{=}\ 0-0-1-3$
Die Ziffernkombination ergibt eine Zahl "kleiner als $10\,000$ ".
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Ergänze die Tabelle.

[ 2 Pkte ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeit

Ereignis	Wahrscheinlichkeit
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Ziffer eine " $1$ " ist.	$\dfrac{1}{10}=0{,}1\ \hat{=}\ 10\%$
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Ziffer "kleiner als $5$ " ist.	$\dfrac{1}{2}=0{,}5\ \hat{=}\ 50\%$

Insgesamt kann die erste Stelle 10 verschiedene Werte annehmen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Stelle eine " $1$ " ist, ist somit $\dfrac{1}{10}$ .

Die $5$ Ziffern $0$ , $1$ , $2$ , $3$ und $4$ sind kleiner als $5$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Ziffer "kleiner als $5$ " ist, ist somit $\dfrac{5}{10}$ .

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Fritz hat die ersten beiden Ziffern seiner Ziffernkombination vergessen. Er weiß jedoch noch, dass die erste Ziffer eine „8“ oder eine „9“ ist und die zweite Ziffer eine „0“, eine „1“ oder eine „2“ ist. Das Baumdiagramm zeigt die möglichen Ziffernkombinationen.
Ergänze die Lücken im Baumdiagramm und berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Kombination, die das Schloss öffnet, mit „8 – 2“ beginnt.
[ 4 Pkte ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
Vervollständigung des Baumdiagramms
Die erste Ziffer ist entweder eine 8 oder eine 9.
Es gibt also nur zwei mögliche Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit ist jeweils $\dfrac{1}{2}$ .
Wahrscheinlichkeit für die Ziffernfolge " $8 - 2 "$
Die Ereignisse für die erste und die zweite Ziffer des Zahlenschlosses sind voneinander unabhängig.
Nach der Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse müssen die beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden.
Wahrscheinlichkeit $P (8,2)$
$P(8{,}2)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kombination, die das Schloss öffnet, mit " $8 - 2$ " beginnt, ist $\dfrac{1}{6}=0{,}1\overline{6}\ \hat{=}\ 17\%$ .
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Berechne die Wahrscheinlichkeit mit der Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse
Der Händler erklärt: „Es gibt kein Zahlenschloss mit einer Ziffernkombination aus 2 Stellen. Das ist zu unsicher.“
Erkläre, warum so ein Zahlenschloss zu unsicher ist.
[ 1 Pkt ]

Bei einer Ziffernkombination aus 2 Stellen gibt es 100 Möglichkeiten.
Dies wären zu wenig Kombinationen. Das Schloss könnte durch Ausprobieren leicht geknackt werden.
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