Wahlteil

Mengen für $8080$ Personen umrechnen

Die Mengen für 4 Personen sind gegeben.

Um diese Mengen für $8080$ Personen umzurechnen, müssen sie mit ${\displaystyle \frac{80}{4}}=20\backslash dfrac\{80\}\{4\}=20$ multipliziert werden.

Mengen für $44$ Personen umrechnen

Die Menge für $8080$ Personen ist gegeben.

Um diese Menge für $44$ Personen umzurechnen, muss sie mit ${\displaystyle \frac{4}{80}}={\displaystyle \frac{1}{20}}\backslash dfrac\{4\}\{80\}=\backslash dfrac\{1\}\{20\}$ multipliziert werden.

Berechnung der Einnahmen

Um einen Gewinn von $150150$ € zu erzielen, muss für die Pizzen eine Einnahme $EE$ von

$E=\text{Gewinn}+\text{Kosten}=150+50=200E=\backslash text\{Gewinn\}+\backslash text\{Kosten\}=150+50=200$

erzielt werden.

Berechnung des Verkaufspreises

Zur Berechnung des Verkaufspreises einer Pizza wird die Einnahme durch die Anzahl der verkauften Pizzen dividiert.

${\displaystyle \frac{200}{80}}=\mathrm{2,5}\backslash dfrac\{200\}\{80\}=2\{,\}5$

Der Verkaufspreis für eine Pizza beträgt $\mathrm{2,50}2\{,\}50$ €.

Seitenlänge der Schachtel

Damit die runde Pizza in die Schachtel mit quadratischer Grundfläche passt, muss die Seitenlänge $aa$ der Schachtel gleich dem Durchmesser der Pizza sein.

$a=2\cdot r=2\cdot 20=40a=2\backslash cdot\; r=2\backslash cdot\; 20=40$

Volumen der Schachtel

Volumen $VV$eines Quaders

$V=\text{L}\ddot{\text{a}}\text{nge}\cdot \text{Breite}\cdot \text{H}\ddot{\text{o}}\text{he}V=\backslash text\{Länge\}\backslash cdot\backslash text\{Breite\}\backslash cdot\backslash text\{Höhe\}$

Werte einsetzen

$V=40\cdot 40\cdot \mathrm{3,5}=5600V=40\backslash cdot\; 40\backslash cdot3\{,\}5=5\backslash ,600$

Die Schachtel hat ein Volumen von $5600{\text{ cm}}^{3}5\backslash ,600\backslash cm^3$.

Die Maxi-Pizza hat den gleichen Flächeninhalt wie alle $44$ Mini-Pizzen zusammen, da der Radius einer Maxi-Pizza doppelt so groß ist, wie der einer Mini-Pizza.

Somit hat die Maxi-Pizza den vierfachen Flächeninhalt einer Mini-Pizza.

Peter hat nicht recht.

Der Graph zeigt Kerze B. Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse zeigt die Kerzenhöhe $6\text{ cm}6\backslash cm$.

Schnittpunkt der Graphen

$S(20\mathrm{\mid }4)S(20|4)$

Der Schnittpunkt der beiden Graphen zeigt den Punkt, an dem beide Kerzen bei gleicher Brenndauer (x-Achse) gleich hoch sind (y-Achse).

Eine lineare Funktion hat die Form $f(x)=m\cdot x+bf(x)=m\backslash cdot\; x\; +b$

Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse gibt die Kerzenhöhe bei einer Brenndauer von 0 Minuten an, d.h. der x-Wert ist an dieser Stelle gleich $00$.

Am Graphen für die Kerze B ergibt sich an der Stelle $x=0x=0$ für die Funktionsgleichung

$b=6b=6$

In der Aufgabenstellung ist gegeben, dass die Kerze B pro Minute $\mathrm{0,1}\text{ cm}0\{,\}1\backslash cm$ abbrennt. Dies gibt die Steigung der Funktion an. Die Kerze brennt ab und wird kürzer. Deshalb ist der Wert der Steigung negativ.

$m=-\mathrm{0,1}m=-0\{,\}1$

Die Funktionsgleichung für die Kerze B lautet

$y=-\mathrm{0,1}x+6y=-0\{,\}1x+6$

1. Aussage

In den Funktionsgleichungen der beiden Kerzen

$\text{B:}y=-\mathrm{0,1}x+6\backslash text\{B:\}\backslash quad\; y=-0\{,\}1x+6$

$\text{C:}y=-\mathrm{0,2}x+7\backslash text\{C:\}\backslash quad\; y=-0\{,\}2x+7$

beschreibt der Koeffizient von $xx$ die Geschwindigkeit, mit der die Kerze abbrennt.

Der Wert $-\mathrm{0,2}-0\{,\}2$ in der Funktionsgleichung der Kerze C zeigt, dass der Graph der Funktion steiler verläuft und die Kerze somit schneller abbrennt.

Die erste Aussage ist falsch.

2. Aussage

Eine proportionale Funktion geht immer durch den Ursprung, d.h. für $x=0x=0$ erhält man immer $y=0y=0$.

Die Funktionsgleichung $y=-\mathrm{0,2}x+7y=-0\{,\}2x+7$ ergibt für $x=0x=0$ den Wert $y=7y=7$.

Die zweite Aussage ist falsch.

Die allgemeine Funktionsgleichung für beide Kerzen ist

$y=m\cdot x+by=m\backslash cdot\; x+b$

Parameter b

Der Wert $bb$ gibt die Länge der Kerzen an.

Aus der Funktionsgleichung von Kerze C kann ihre Länge mit $b=7b=7$ abgelesen werden.

Kerze D ist doppelt so lang wie Kerze C. Damit ergibt sich für Kerze D eine Länge von $b=14b=14$.

Parameter m

Zunächst wird die Brenndauer von Kerze C berechnet. Dies ist der Wert von $xx$, wenn in der Funktionsgleichung $y=0y=0$ gesetzt wird.

$0=-\mathrm{0,2}x+70=-0\{,\}2x+7$

$-7=-\mathrm{0,2}x-7=-0\{,\}2x$

$x=35x=35$

Da beide Kerzen die gleiche Brenndauer haben, kann man in die Funktionsgleichung für Kerze D für $y=0y=0$ den Wert $x=35x=35$ einsetzen und so die Steigung $mm$ errechnen.

$0=m\cdot 35+140=m\backslash cdot35+14$

$-14=m\cdot 35-14=m\backslash cdot\; 35$

$m={\displaystyle \frac{-14}{35}}=-\mathrm{0,4}m=\backslash dfrac\{-14\}\{35\}=-0\{,\}4$

Funktionsgleichung Kerze D

Durch Einsetzen von $mm$ und $bb$ erhält man die Funktionsgleichung für Kerze D

$y=-\mathrm{0,4}x+14y=-0\{,\}4x+14$

Rentenversicherungsbeitrag

Gesucht ist der Prozentwert $WW$

$W=\text{Prozentsatz}\cdot \text{Grundwert}W=\backslash text\{Prozentsatz\}\backslash cdot\backslash text\{Grundwert\}$

$W=\mathrm{0,093}\cdot 830=\mathrm{77,19}W=0\{,\}093\backslash cdot\; 830=77\{,\}19$

Sonja muss $\mathrm{77,19}77\{,\}19$ € Rentenversicherung zahlen

Arbeitslosenversicherung

Gesucht ist der Prozentsatz $pp$

$p={\displaystyle \frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}}p=\backslash dfrac\{\backslash text\{Prozentwert\}\}\{\backslash text\{Grundwert\}\}$

$p={\displaystyle \frac{\mathrm{9,96}}{830}}=\mathrm{0,012}\widehat{=}\mathrm{1,2}\mathrm{\%}p=\backslash dfrac\{9\{,\}96\}\{830\}=0\{,\}012\backslash \; \backslash hat\{=\}\backslash \; 1\{,\}2\backslash \%$

Sonja muss $\mathrm{1,2}\mathrm{\%}1\{,\}2\backslash \%$ Arbeitslosenversicherung zahlen.

Nettolohn

Gesucht Prozentwert W

$W=\text{Prozentsatz}\cdot \text{Grundwert}W=\backslash text\{Prozentsatz\}\backslash cdot\backslash text\{Grundwert\}$

$W=\mathrm{0,80675}\cdot 830=\mathrm{669,6025}W=0\{,\}80675\backslash cdot\; 830=669\{,\}6025$

Sonja erhält einen Nettolohn von $\mathrm{669,60}669\{,\}60$ €.

$99849\backslash ,984$ € ist das steuerfreie Jahreseinkommen.

Dies entspricht einem Monatseinkommen von

${\displaystyle \frac{9984}{12}}=832\backslash dfrac\{9\backslash ,984\}\{12\}=832$

Sonja darf maximal $832832$ € monatlich verdienen, um keine Lohnsteuer zahlen zu müssen.

Gesamtabzüge

Sonja gesamte Abzüge errechnen sich aus

$\text{Bruutolohn}-\text{Nettolohn}\backslash text\{Bruutolohn\}-\backslash text\{Nettolohn\}$

$830-\mathrm{669,60}=\mathrm{160,40}830-669\{,\}60=160\{,\}40$

Prozentsatz $pp$ berechnen

$p={\displaystyle \frac{Prozentwert}{Grundwert}}p=\backslash dfrac\{Prozentwert\}\{Grundwert\}$

$p={\displaystyle \frac{\mathrm{160,4}}{830}}\approx \mathrm{0,19325}p=\backslash dfrac\{160\{,\}4\}\{830\}\backslash approx\; 0\{,\}19325$

Vergleich

Sonja hat recht. Ihr werden $\mathrm{19,325}\mathrm{\%}19\{,\}325\backslash \%$ vom Gehalt abgezogen. Das sind ungefähr $20\mathrm{\%}20\backslash \%$, also ${\displaystyle \frac{1}{5}}\backslash dfrac\{1\}\{5\}$.

Gesucht ist der Prozentsatz $pp$, um den Sonjas Gehalt vom ersten zum dritten Ausbildungsjahr steigt.

$p={\displaystyle \frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}}p=\backslash dfrac\{\backslash text\{Prozentwert\}\}\{\backslash text\{Grundwert\}\}$

$p={\displaystyle \frac{1050}{830}}\approx \mathrm{1,2651}p=\backslash dfrac\{1\backslash ,050\}\{830\}\backslash approx\; 1\{,\}2651$

Ihr Gehalt im dritten Ausbildungsjahr beträgt $\mathrm{126,51}\mathrm{\%}126\{,\}51\backslash \%$ des Gehalts im ersten Ausbildungsjahr.

Der Bruttolohn hat um $\mathrm{26,51}\mathrm{\%}26\{,\}51\backslash \%$ zugenommen.

1. Ereignis

Das Zahlenschloss hat vier Stellen.

Da es sich um unabhängige Ereignisse handelt, ist an jeder Stelle eine Ziffer "größer als $77$" möglich.

2. Ereignis

Das Zahlenschloss hat nur vier Stellen.

Eine Ziffernfolge mit fünf Stellen ist nicht möglich.

Die Ziffernkombination "$1-2-3-4-51-2-3-4-5$" ist unmöglich.

3. Ereignis

Alle Zahlen "kleiner als $1000010\backslash ,000$" haben genau vier Stellen, wenn sie mit führenden Nullen aufgefüllt werden, z.B. $13\widehat{=}0-0-1-313\backslash \; \backslash hat\{=\}\backslash \; 0-0-1-3$

Die Ziffernkombination ergibt eine Zahl "kleiner als $1000010\backslash ,000$".

Insgesamt kann die erste Stelle 10 verschiedene Werte annehmen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Stelle eine "$11$" ist, ist somit ${\displaystyle \frac{1}{10}}\backslash dfrac\{1\}\{10\}$.

Die $55$ Ziffern $00$, $11$, $22$, $33$ und $44$ sind kleiner als $55$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Ziffer "kleiner als $55$" ist, ist somit ${\displaystyle \frac{5}{10}}\backslash dfrac\{5\}\{10\}$.

Vervollständigung des Baumdiagramms

Die erste Ziffer ist entweder eine 8 oder eine 9.

Es gibt also nur zwei mögliche Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit ist jeweils ${\displaystyle \frac{1}{2}}\backslash dfrac\{1\}\{2\}$.

Wahrscheinlichkeit für die Ziffernfolge "$8-2\mathrm{"}8-2"$

Die Ereignisse für die erste und die zweite Ziffer des Zahlenschlosses sind voneinander unabhängig.

Nach der Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse müssen die beiden Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden.

Wahrscheinlichkeit $P(\mathrm{8,2})P(8\{,\}2)$

$P(\mathrm{8,2})={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}P(8\{,\}2)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{3\}=\backslash dfrac\{1\}\{6\}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kombination, die das Schloss öffnet, mit "$8-28-2$" beginnt, ist ${\displaystyle \frac{1}{6}}=\mathrm{0,1}\bar{6}\widehat{=}17\mathrm{\%}\backslash dfrac\{1\}\{6\}=0\{,\}1\backslash overline\{6\}\backslash \; \backslash hat\{=\}\backslash \; 17\backslash \%$.

Bei einer Ziffernkombination aus 2 Stellen gibt es 100 Möglichkeiten.

Dies wären zu wenig Kombinationen. Das Schloss könnte durch Ausprobieren leicht geknackt werden.