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Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = (x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 4}$ mit $x \in ℝ$ .

Der Graph von $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.

Abbildung 3

Die Funktion $f$ besitzt genau zwei Extremstellen.
Ermitteln Sie die beiden Extremstellen von $f$ .
Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
Ermittle die beiden Extremstellen von $f$ .
Berechne die 1. Ableitung:
$f^{'} (x) = (2 x + 2) \cdot e^{- x + 4} + (x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1) = (- x^{2} + 2) \cdot e^{- x + 4}$ .
Die notwendige Bedingung ist $f^{'} (x) = 0$ .
$\Rightarrow 0 = (- x^{2} + 2) \cdot e^{- x + 4}$
Wegen $e^{- x + 4} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ ist $- x^{2} + 2 = 0$ .
$\Rightarrow x = - \sqrt{2} \lor x = \sqrt{2}$
Da die Funktion $f$ genau zwei Extremstellen besitzt, sind die beiden Extremstellen $x = - \sqrt{2}$ und $x = \sqrt{2}$ .
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Berechne die 1. Ableitung.
Die notwendige Bedingung ist $f^{'} (x) = 0$ . Löse die Gleichung nach $x$ auf.
Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f$ .
Hinweis: Die Größe der $y$ -Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
Graphen von $f$ und von $f^{'}$
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Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

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