A1

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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 1
Gegeben ist eine in $ℝ$ definierte Funktion $f (x) = x^{4} - k \cdot x^{2}$ , wobei $k$ eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ .
Abbildung 1
1. Zeigen Sie, dass $f^{'} (x) = 2 x \cdot (2 x^{2} - k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
  Zeige, dass $f^{'} (x) = 2 x \cdot (2 x^{2} - k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist
  Gegeben ist $f (x) = x^{4} - k \cdot x^{2}$ .
  Dann ist $f^{'} (x) = 4 \cdot x^{3} - 2 \cdot k \cdot x = 2 x \cdot (2 x^{2} - k)$ .
  Es ist also $f^{'} (x) = 2 x \cdot (2 x^{2} - k)$ .
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  Leite $f (x)$ ab.
2. Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die y-Koordinate $- 1$ .
  Ermitteln Sie den Wert von $k$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremum
  Ermittele den Wert von $k$
  Es ist $f^{'} (x) = 2 x \cdot (2 x^{2} - k)$ .
  Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet $f^{'} (x) = 0$ .
  $\Rightarrow 0 = 2 x \cdot (2 x^{2} - k)$
  Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
  $x = 0 \lor x = \pm \sqrt{\frac{k}{2}}$
  Die beiden Tiefpunkte des Graphen von $f$ haben jeweils die y-Koordinate $- 1$ , d.h. auf die hinreichende Bedingung kann verzichtet werden.
  Zu den beiden Tiefpunkte gehören die Extremstellen $x = \pm \sqrt{\frac{k}{2}}$ .
  Für $k > 0$ gilt: $f (\sqrt{\frac{k}{2}}) = - 1 \Rightarrow {(\sqrt{\frac{k}{2}})}^{4} - k \cdot {(\sqrt{\frac{k}{2}})}^{2} = - 1$
  $\Rightarrow \frac{k^{2}}{4} - \frac{k^{2}}{2} = - 1 \Rightarrow - \frac{k^{2}}{4} = - 1 \Rightarrow k^{2} = 4 \Rightarrow k = 2$ .
  Der gesuchte Wert von $k$ ist $k = 2$ .
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  Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet $f^{'} (x) = 0$ .
  Bestimme die Extremstellen $x_{E}$ .
  Die Tiefpunkte liegen nicht bei $x = 0$ .
  Löse die Gleichung $f (x_{E}) = - 1$ nach $k$ auf. Beachte $k > 0$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 2
Die Funktion $f$ ist gegeben durch $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 23 x + 15, x \in ℝ$ .
Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion zur Funktion $f$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
1. Interpretieren Sie die Aussage $F (5) - F (1) = 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$ .
  (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Interpretiere die Aussage $F (5) - F (1) = 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$
  Die Fläche, die im Intervall $[1; 3]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, ist genauso groß wie die Fläche, die im Intervall $[3; 5]$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird
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  Betrachte die Flächen unterhalb und oberhalb der x-Achse.
2. Berechnen Sie $\int_{0}^{1} f (x) d x$ . (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion
  Berechne $\int_{0}^{1} f (x) d x$
  Es ist $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 23 x + 15$ .
  Dann ist $F (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + 3 x^{3} - \frac{23}{2} x + 15 x$ eine Stammfunktion von $f$ .
  $\int_{0}^{1} f (x) d x = F (1) - F (0) = (- \frac{1}{4} + 3 - \frac{23}{2} + 15) - (0) = 18 - \frac{47}{4} = \frac{25}{4}$
  Ergebnis: $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{25}{4}$ .
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  Ermittele eine Stammfunktion von $f$ .
  Berechne $\int_{0}^{1} f (x) d x = F (1) - F (0)$ .
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = (x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 4}$ mit $x \in ℝ$ .
Der Graph von $f$ ist in Abbildung 3 dargestellt.
Abbildung 3
1. Die Funktion $f$ besitzt genau zwei Extremstellen.
  Ermitteln Sie die beiden Extremstellen von $f$ .
  Hinweis: Ein Nachweis der hinreichenden Bedingung ist nicht erforderlich. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema berechnen
  Ermittle die beiden Extremstellen von $f$ .
  Berechne die 1. Ableitung:
  $f^{'} (x) = (2 x + 2) \cdot e^{- x + 4} + (x^{2} + 2 x) \cdot e^{- x + 4} \cdot (- 1) = (- x^{2} + 2) \cdot e^{- x + 4}$ .
  Die notwendige Bedingung ist $f^{'} (x) = 0$ .
  $\Rightarrow 0 = (- x^{2} + 2) \cdot e^{- x + 4}$
  Wegen $e^{- x + 4} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ ist $- x^{2} + 2 = 0$ .
  $\Rightarrow x = - \sqrt{2} \lor x = \sqrt{2}$
  Da die Funktion $f$ genau zwei Extremstellen besitzt, sind die beiden Extremstellen $x = - \sqrt{2}$ und $x = \sqrt{2}$ .
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  Berechne die 1. Ableitung.
  Die notwendige Bedingung ist $f^{'} (x) = 0$ . Löse die Gleichung nach $x$ auf.
2. Skizzieren Sie in Abbildung 3 den Graphen der ersten Ableitungsfunktion von $f$ .
  Hinweis: Die Größe der $y$ -Werte kann dabei unberücksichtigt bleiben. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion
  Graphen von $f$ und von $f^{'}$
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4
Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 4
Für jedes $a \in ℝ$ ist durch die Gleichung $f_{a} (x) = \frac{1}{2} (x + 2) (3 x + a)^{2} e^{x}, x \in ℝ$ , eine Funktion $f_{a}$ gegeben.
In Abbildung 4 ist der Graph der Funktion $f_{a}$ für $a = 0$ abgebildet.
Abbildung 4
1. Es gibt genau einen Wert von $a$ , sodass die Funktion $f_{a}$ nur eine Nullstelle besitzt.
  Ermitteln Sie diesen Wert von $a$ . (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Ermittle diesen Wert von $a$
  Gegeben ist $f_{a} (x) = \frac{1}{2} (x + 2) (3 x + a)^{2} e^{x}$ .
  Berechne die Nullstellen:
  Löse die Gleichung $f (x) = 0$ :
  $0 = \frac{1}{2} (x + 2) (3 x + a)^{2} e^{x}$
  Wegen $e^{x} \neq 0$ für alle $x \in ℝ$ ist $x + 2 = 0$ oder $(3 x + a)^{2} = 0$ (Satz vom Nullprodukt).
  $\Rightarrow x = - 2 \lor x = - \frac{a}{3}$
  Die Funktion $f_{a}$ darf nur eine Nullstelle besitzen, d.h. $- \frac{a}{3} = - 2 \Rightarrow a = 6$ .
  Für $a = 6$ hat der Graph von $f_{6} (x)$ nur eine Nullstelle.
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  Berechne die Nullstellen, d.h. löse die Gleichung $f (x) = 0$ $\Rightarrow x_{1}$ und $x_{2}$ .
  Die Funktion $f_{a}$ darf nur eine Nullstelle besitzen $\Rightarrow x_{1} = x_{2}$ .
  Löse diese Gleichung nach $a$ auf.
2. Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ der Punkt $P (3 | 90 e^{3})$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionswert
  Gegeben ist der Punkt $P (3 | 90 e^{3})$ .
  $\Rightarrow 90 e^{3} = \frac{1}{2} (3 + 2) (3 \cdot 3 + a)^{2} e^{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (9 + a^{2}) \cdot e^{3}$
  Der Koeffizientenvergleich liefert die Gleichung $90 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (9 + a^{2})$ .
  $\Rightarrow 36 = (9 + a)^{2} \Rightarrow a_{1,2} = - 9 \pm 6 \Rightarrow a = - 15 \lor a = - 3$
  Für $a = - 15$ oder $a = - 3$ liegt der Punkt $P$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}$ .
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  Setze die Koordinaten des Punktes $P$ in $f_{a} (x)$ ein und löse die Gleichung nach $a$ auf.
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 5
Betrachtet werden die Ebene $E : x_{1} - x_{2} + x_{3} - 3 = 0$ und für $a \in ℝ$ die Gerade $g_{a} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array})$ mit $s \in ℝ$ .
1. Bestimmen Sie, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht. (2 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht
  Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array})$ parallel zum Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ der Ebene sein, d.h. die beiden Vektoren sind Vielfache voneinander.
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
  Gleichung $I$ und Gleichung $III$ liefern $r = 2$ .
  Eingesetzt in Gleichung $II$ :
  $\Rightarrow 1 + a = 2 \cdot (- 1) = - 2 \Rightarrow a = - 3$
  Für $a = - 3$ steht die Gerade $g_{- 3}$ senkrecht zu $E$ .
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  Wenn die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ stehen soll, dann muss der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Geraden parallel zum Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene sein.
  Löse die Gleichung $\vec{u} = r \cdot \vec{n}$ nach $a$ auf.
2. Untersuchen Sie, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt. (3 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt
  Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden $\vec{u} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array})$ senkrecht zum Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein.
  $(\begin{array}{c} 2 \\ 1 + a \\ 2 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) = 0 \Rightarrow 2 \cdot 1 + (1 + a) \cdot (- 1) + 2 \cdot 1 = 0$
  $\Rightarrow 4 = 1 + a \Rightarrow a = 3$
  Zunächst ist nur gezeigt, dass für $a = 3$ die Gerade $g_{3}$ parallel zu $E$ ist.
  Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P \in g_{3}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{3}$ sollte in $E$ liegen.
  Setze $(1 | - 2 | 0)$ in $E : x_{1} - x_{2} + x_{3} - 3 = 0$ ein:
  $1 - (- 2) + 0 - 3 = 0 \Rightarrow 3 - 3 = 0 ✓$
  Die Gerade $g_{3}$ liegt demnach in der Ebene $E$ .
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  Wenn die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegen soll, dann muss der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene sein, d.h. das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren muss gleich null sein $\Rightarrow a_{1}$ .
  Damit ist gezeigt, dass für $a_{1}$ die Gerade $g_{a_{1}}$ parallel zu $E$ ist.
  Wenn die Gerade $g_{a_{1}}$ in $E$ liegen soll, muss es einen Punkt $P \in g_{a_{1}}$ geben, der auch in $E$ liegt. Der Aufpunkt der Geraden $g_{a_{1}}$ sollte in $E$ liegen. Überprüfe!
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Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen (Gilt für: Aufgabenstellung)Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe 6
Gegeben sind die Punkte $A (2 | - 3 | 1)$ und $B (2 | 3 | 1)$ .
1. Begründen Sie, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse verläuft. (1 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Das Koordinatensystem
  Begründe, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse verläuft
  Gegeben sind die Punkte $A (2 | - 3 | 1)$ und $B (2 | 3 | 1)$ .
  Bei $A$ und bei $B$ sind die $x_{1}$ - und $x_{3}$ - Koordinaten identisch, daher verläuft die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse.
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  Betrachte die $x_{1}$ - und $x_{3}$ - Koordinaten der beiden Punkte.
2. Der Punkt $C$ liegt auf der $x_{2}$ -Achse. Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ .
  Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben. (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
  Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben
  Ein Punkt $C$ auf der $x_{2}$ -Achse hat die Koordinaten $C (0 | c | 0)$ .
  Gefordert ist: Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ .
  Demnach muss der Vektor $\vec{C A}$ senkrecht zum Vektor $\vec{C B}$ sein. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.
  $\vec{C A} = \vec{O A} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ c \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 - c \\ 1 \end{array})$
  $\vec{C B} = \vec{O B} - \vec{O C} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ c \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 - c \\ 1 \end{array})$
  $\Rightarrow \vec{C A} \circ \vec{C B} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 3 - c \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 3 - c \\ 1 \end{array}) = 0$
  $\Rightarrow 2 \cdot 2 + (- 3 - c) \cdot (3 - c) + 1 \cdot 1 = 0 \Rightarrow 5 - (3 + c) \cdot (3 - c) = 0$
  $\Rightarrow 5 - (3^{2} - c^{2}) = 0 \Rightarrow 5 - 9 + c^{2} = 0 \Rightarrow c^{2} = 4$
  Die Gleichung $c^{2} = 4$ hat die beiden Lösungen $c = - 2 \lor c = 2$ .
  Demnach gibt es zwei Punkte, mit den Koordinaten $C_{1} (0 | - 2 | 0)$ und $C_{2} (0 | 2 | 0)$ , die die geforderten Eigenschaften haben.
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  Ein Punkt $C$ auf der $x_{2}$ -Achse hat die Koordinaten $C (0 | c | 0)$ .
  Gefordert ist: Die Gerade durch $A$ und $C$ steht senkrecht zur Geraden durch $B$ und $C$ .
  Der Vektor $\vec{C A}$ muss senkrecht zum Vektor $\vec{C B}$ sein. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist dann gleich null.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

A1

Aufgabe 1

Zeige, dass f′(x)=2x⋅(2x2−k) eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von f ist

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Ermittele den Wert von k

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Aufgabe 2

Interpretiere die Aussage F(5)−F(1)=0 in Bezug auf den Graphen von f

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Berechne ∫01f(x)dx

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Aufgabe 3

Ermittle die beiden Extremstellen von f.

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Aufgabe 4

Ermittle diesen Wert von a

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Aufgabe 5

Bestimme, denjenigen Wert von a, für den die Gerade ga senkrecht zu E steht

Hast du eine Frage oder Feedback?

Untersuche, ob es einen Wert von a gibt, für den die Gerade ga in E liegt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Aufgabe 6

Begründe, dass die Gerade durch A und B parallel zur x2-Achse verläuft

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Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes C haben

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Zeige, dass $f^{'} (x) = 2 x \cdot (2 x^{2} - k)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von $f$ ist

Ermittele den Wert von $k$

Interpretiere die Aussage $F (5) - F (1) = 0$ in Bezug auf den Graphen von $f$

Berechne $\int_{0}^{1} f (x) d x$

Ermittle die beiden Extremstellen von $f$ .

Ermittle diesen Wert von $a$

Bestimme, denjenigen Wert von $a$ , für den die Gerade $g_{a}$ senkrecht zu $E$ steht

Untersuche, ob es einen Wert von $a$ gibt, für den die Gerade $g_{a}$ in $E$ liegt

Begründe, dass die Gerade durch $A$ und $B$ parallel zur $x_{2}$ -Achse verläuft

Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punktes $C$ haben