Ermittle diesen Wert von $aa$

Gegeben ist $f_a(x)=\frac{1}{2}(x+2)(3x+a{)}^2{\mathrm{e}}^{x}f\_\{a\}(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}(x+2)(3\; x+a)^\{2\}\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}$.

Berechne die Nullstellen:

Löse die Gleichung $f(x)=0f(x)=0$:

$0=\frac{1}{2}(x+2)(3x+a{)}^2{\mathrm{e}}^{x}0=\backslash frac\{1\}\{2\}(x+2)(3\; x+a)^\{2\}\; \backslash mathrm\{e\}^\{x\}$

Wegen ${\mathrm{e}}^x\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ ist $x+2=0x+2=0$ oder $(3x+a{)}^2=0(3x+a)^2=0$ (Satz vom Nullprodukt).

$\Rightarrow x=-2\vee x=-{\displaystyle \frac{a}{3}}\backslash Rightarrow\backslash ;x=-2\backslash vee\; x=-\backslash dfrac\{a\}\{3\}$

Die Funktion $f_{a}f\_\{a\}$ darf nur eine Nullstelle besitzen, d.h. $-{\displaystyle \frac{a}{3}}=-2\Rightarrow a=6-\backslash dfrac\{a\}\{3\}=-2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=6$.

Für $a=6a=6$ hat der Graph von $f_6(x)f\_6(x)$ nur eine Nullstelle.

Gegeben ist der Punkt $P(3\mid 90{\mathrm{e}}^3)P\backslash left(3\; \backslash mid\; 90\; \backslash mathrm\{e\}^\{3\}\backslash right)$.

$\Rightarrow 90{\mathrm{e}}^3=\frac{1}{2}(3+2)(3\cdot 3+a{)}^2{\mathrm{e}}^3={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot (9+a^2)\cdot {\mathrm{e}}^3\backslash Rightarrow\backslash ;\; 90\; \backslash mathrm\{e\}^\{3\}=\backslash frac\{1\}\{2\}(3+2)(3\; \backslash cdot\; 3+a)^\{2\}\; \backslash mathrm\{e\}^\{3\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 5\backslash cdot(9+a^2)\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{3\}$

Der Koeffizientenvergleich liefert die Gleichung $90={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot (9+a^2)90=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 5\backslash cdot(9+a^2)$.

$\Rightarrow 36=(9+a{)}^2\Rightarrow a_{\mathrm{1,2}}=-9\pm 6\Rightarrow a=-15\vee a=-3\backslash Rightarrow\backslash ;36=(9+a)^2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a\_\{1\{,\}2\}=-9\backslash pm\; 6\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; a=-15\backslash vee\; a=-3$

Für $a=-15a=-15$ oder $a=-3a=-3$ liegt der Punkt $PP$ auf dem Graphen der Funktion $f_{a}f\_\{a\}$.