Ermittle die Extremstelle von $ff$

Gegeben ist $f(x)=(x+2)\cdot {\mathrm{e}}^{-x+4}f(x)=(x+2)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x+4\}$.

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot e^{-x+4}+(x+2)\cdot e^{-x+4}\cdot (-1)=-(x+1)\cdot e^{-x+4}f\text{'}(x)=1\backslash cdot\; e^\{-x+4\}+(x+2)\backslash cdot\; e^\{-x+4\}\backslash cdot\; (-1)=-(x+1)\backslash cdot\; e^\{-x+4\}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=-(x+1)\cdot e^{-x+4}f\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0\; =-(x+1)\backslash cdot\; e^\{-x+4\}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x+4}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-x+4\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x+1=0\Rightarrow x=-1x+1=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-1$

Die Funktion $ff$ hat für $x=-1x=-1$ genau eine lokale Extremstelle.

Skizziere in Abbildung 2 den Graphen der Ableitungsfunktion von $ff$