Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12\mathrm{\mid }2160)(12|2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $ff$ ist

Gegeben ist $f(x)=-\frac{5}{16}{x}^4+5x^{3}f(x)=-\backslash frac\{5\}\{16\}\; x^\{4\}+5\; x^\{3\}$.

Berechne $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{5}{4}{x}^3+15x^{2}f\text{'}(x)=-\backslash frac\{5\}\{4\}\; x^\{3\}+15\; x^\{2\}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{15}{4}{x}^2+30xf\text{'}\text{'}(x)=-\backslash frac\{15\}\{4\}\; x^\{2\}+30\; x$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-\frac{5}{4}{x}^3+15x^2=5x^2\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+3)\backslash Rightarrow\backslash ;0=-\backslash frac\{5\}\{4\}\; x^\{3\}+15\; x^\{2\}=5x^2\backslash cdot\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+3\backslash right)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee -{\displaystyle \frac{1}{4}}x+3=0\Rightarrow x=12x=0\backslash vee\; -\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+3=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=12$

Lokale Extremstellen sind $x=0x=0$ oder $x=12x=12$.

Nach Aufgabenstellung muss nur $x=12x=12$ beachtet werden.

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}(x)\backslash neq\; 0$.

Maximum

Berechne $f(12)=-\frac{5}{16}\cdot {12}^4+5\cdot {12}^3=2160f(12)=-\backslash frac\{5\}\{16\}\; \backslash cdot\; 12^\{4\}+5\backslash cdot\; 12^\{3\}=2160$.

Der Punkt $(12\mathrm{\mid }2160)(12|2160)$ ist also ein Hochpunkt des Graphen von $ff$.

Bestimme eine Gleichung der Geraden $gg$, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $ff$ verläuft

Berechne die Wendepunkte:

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}\text{'}(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-\frac{15}{4}{x}^2+30x=15\cdot x(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot x+2)\backslash Rightarrow\backslash ;0=-\backslash frac\{15\}\{4\}\; x^\{2\}+30\; x=15\backslash cdot\; x\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; x\; +2\backslash right)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee -{\displaystyle \frac{1}{4}}x+2=0\Rightarrow x=8x=0\backslash vee\; -\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=8$

Wendestellen liegen bei $x=0x=0$ oder $x=8x=8$ vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}\text{'}(x)\backslash neq\; 0$ erfüllt ist.

Berechne $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{15}{2}x+30\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=30\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}\text{'}(x)=-\backslash frac\{15\}\{2\}\; x+30\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f\text{'}\text{'}(0)=30\backslash neq\; 0$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(8)=-\frac{15}{2}\cdot 8+30=-30\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}\text{'}(8)=-\backslash frac\{15\}\{2\}\; \backslash cdot\; 8+30=-30\backslash neq\; 0$

Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei $x=0x=0$ oder $x=8x=8$ vor.

Berechne $f(0)=0f(0)=0$ und $f(8)=-\frac{5}{16}\cdot 8^4+5\cdot 8^3=1280f(8)=-\backslash frac\{5\}\{16\}\backslash cdot\; 8^\{4\}+5\backslash cdot\; 8^\{3\}=1280$.

Die Wendepunkte haben die Koordinaten $W{P}_1(0\mid 0)WP\_1(0\backslash mid\; 0)$ und $W{P}_2(8\mid 1280)WP\_2(8\backslash mid\; 1280)$.

Für die Geradengleichung $gg$ benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1280-0}{8-0}}\cdot (x-0)+0y=\backslash dfrac\{\; y\_2\; -\; y\_1\; \}\{\; x\_2\; -\; x\_1\; \}\backslash cdot(x\; -\; x\_1)\; +\; y\_1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;y=\backslash dfrac\{1280-0\}\{8-0\}\backslash cdot(x\; -\; 0)\; +\; 0$

$\Rightarrow g:y=160\cdot x\backslash Rightarrow\backslash ;g:\; y=160\backslash cdot\; x$

Die Gleichung der Geraden $gg$, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $ff$ verläuft, lautet $y=160\cdot xy=160\backslash cdot\; x$.

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $gg$ ist und für $0\le x\le 80\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 8$ mit dem Graphen von $ff$ genau einen Punkt gemeinsam hat

Die zu $gg$ parallele Gerade hat für $0\le x\le 80\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 8$ mit dem Graphen von $ff$ genau einen Punkt gemeinsam.

Ermittle denjenigen Wert von $bb$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $OBCO\; B\; C$ maximal wird, und gib diesen Flächeninhalt an

Abbildung mit einem eingezeichneten Dreieck $OBCOBC$:

Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt: $A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot g\cdot hA=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; g\backslash cdot\; h$

$\Rightarrow A(b)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot b\cdot f(b)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot b\cdot (-{\displaystyle \frac{5}{16}}\cdot b^4+5\cdot b^3)=-{\displaystyle \frac{5}{32}}\cdot b^5+{\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot b^4\backslash Rightarrow\backslash ;A(b)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; b\; \backslash cdot\; f(b)=\backslash dfrac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; b\; \backslash cdot\; \backslash left(-\backslash dfrac\{5\}\{16\}\backslash cdot\; b^\{4\}+5\; \backslash cdot\; b^3\backslash right)=-\backslash dfrac\{5\}\{32\}\backslash cdot\; b^5+\backslash dfrac\{5\}\{2\}\backslash cdot\; b^4$

Lasse dir die Funktion $A(x)=-{\displaystyle \frac{5}{32}}\cdot x^5+{\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot x^{4}A(x)=-\backslash dfrac\{5\}\{32\}\backslash cdot\; x^5+\backslash dfrac\{5\}\{2\}\backslash cdot\; x^4$ anzeigen und ermittle das absolute Maximum von $A(b)A(b)$ mit dem GTR-Rechner im Intervall $[0;16][0;16]$.

Das Maximum hat die gerundeten Koordinaten $(\mathrm{12,8}\mid 13422)(12\{,\}8\backslash mid\; 13422)$.

Für $b=\mathrm{12,8}b=12\{,\}8$ hat das Dreieck $OBCOBC$ den maximalen Flächeninhalt von rund $13422\mathrm{F}\mathrm{E}13422\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.