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Aufgabe 1

Die Abbildung zeigt den Graphen der in ℝ definierten Funktion f mit f(x)=−516x4+5x3.

Abbildung

Abbildung

  1. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Punkt (12|2160) ein Hochpunkt des Graphen von f ist und dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt (0|0) parallel zur x-Achse verläuft. (5 P)

  2. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von f verläuft.

    Zeichnen Sie in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu g ist und für 0≤x≤8 mit dem Graphen von f genau einen Punkt gemeinsam hat. (6 P)

  3. Die Punkte O(0|0),B(b|0) und C(b|f(b)) bilden fĂźr jede reelle Zahl b mit 0<b<16 ein Dreieck OBC.

    Ermitteln Sie denjenigen Wert von b, fßr den der Flächeninhalt des Dreiecks OBC maximal wird, und geben Sie diesen Flächeninhalt an.

    [Hinweis: Eine Betrachtung der Randwerte ist nicht erforderlich.] (4 P)