Berechnen, wie viel Kubikmeter Erde für den Bau der Pyramide benötigt wurden.

Die Formel zur Berechnung des Volumeninhalts einer Pyramide lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{G}\cdot \mathrm{h}\backslash large\backslash mathrm\{V\_\{Pyramide\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; G\backslash cdot\; h\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{h}=13\text{ m}\backslash mathrm\{h=13\backslash m\}$

Die Grundfläche $\mathbf{\text{G}}\backslash textbf\{G\}$ der Pyramide ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $\mathrm{a}=35\text{ m}\Rightarrow \backslash mathrm\{a=35\backslash m\backslash Rightarrow\}$

$\Rightarrow \text{G}={35}^2\backslash Rightarrow\; \backslash text\{G\}\; =35^2$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {35}^2\cdot 13\backslash mathrm\{V\_\{Pyramide\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot35^2\backslash cdot13\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 15925\backslash mathrm\{V\_\{Pyramide\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot15925\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{5308,33}{\text{ m}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Pyramide\}=5308\{,\}33\backslash m^3\}$

Für den Bau der Pyramide wurden $\boxed{{\displaystyle \mathrm{5308,33}{\text{ m}}^3}}\backslash boxed\{5308\{,\}33\backslash m^3\}$ Erde benötigt.

Berechnen der Anzahl der Treppenstufen.

Folgende Größen sind bekannt:

Höhe der Pyramide: ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=13\text{ m}\backslash hspace\{8mm\}\backslash mathrm\{h\_K\}=13\backslash m$

Höhe einer Treppenstufe: ${\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}=20\text{ cm}\backslash mathrm\{h\_\{T\}=20\backslash cm\}$

Wir rechnen die Höhe der Treppenstufe in Meter um,

indem wir $2020$ durch $100100$ teilen.

${\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}={\displaystyle \frac{20}{100}}\Rightarrow {\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}=\mathrm{0,2}\text{ m}\backslash mathrm\{h\_T=\backslash dfrac\{20\}\{100\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; h\_T=0\{,\}2\backslash m\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{T}}=13:\mathrm{0,2}\backslash mathrm\{Anzahl\_T=13:0\{,\}2\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{T}}=65\backslash mathrm\{Anzahl\_T=65\}$

Die Anzahl der Treppenstufen beträgt: $\boxed{{\displaystyle 65}}\backslash \; \backslash boxed\{65\}$.

Berechnen der Treppenlänge x.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash large\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das farbig markierte Dreieck:

${\mathrm{x}}^2={{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2\Rightarrow \mathrm{x}=\sqrt{{{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2}\backslash mathrm\{x^2=\{h\_K\}^2+\backslash left(\backslash dfrac\{a\}\{2\}\backslash right)^2\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; x=\backslash sqrt\{\{h\_K\}^2+\backslash left(\backslash dfrac\{a\}\{2\}\backslash right)^2\}\}$

$\mathrm{x}=\sqrt{{13}^2+{\left({\displaystyle \frac{35}{2}}\right)}^2}\backslash mathrm\{x=\backslash sqrt\{13^2+\backslash left(\backslash dfrac\{35\}\{2\}\backslash right)^2\}\}$

$\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{474,25}}\backslash mathrm\{x=\backslash sqrt\{474\{,\}25\}\}$

$\text{x}\approx \mathrm{21,80}\backslash text\{x\}\backslash approx21\{,\}80$

Die Treppenlänge x beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{21,80}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{21\{,\}80\backslash m\}$.

Berechnen der Größe der zu mähenden Fläche.

Die zu mähende Fläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.

Die Mantelfläche besteht aus $44$ Dreiecken.

Berechnen des Flächeninhalts eines Dreiecks.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{g}\cdot \mathrm{h}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{g\backslash cdot\; h\}\{2\}\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\text{g}=35\text{ m}\text{ h}=\mathrm{21,80}\text{ m}\backslash text\{g\}=35\backslash m\backslash qquad\backslash h=21\{,\}80\backslash m$ (Treppenlänge $\mathbf{\text{x}}\backslash textbf\{x\}$, siehe Teilaufgabe 1c)

$\backslash rule\{114mm\}\{0.5mm\}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{35\cdot \mathrm{21,80}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{35\backslash cdot21\{,\}80\}\{2\}\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{763}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{763\}\{2\}\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{381,5}{\text{ m}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=381\{,\}5\backslash m^2\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=4\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}\backslash mathrm\{A\_\{Mantelfläche\}=4\backslash cdot\; A\_\{Dreieck\}\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=4\cdot \mathrm{381,5}\backslash mathrm\{A\_\{Mantelfläche\}=4\backslash cdot\; 381\{,\}5\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=1526{\text{ m}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Mantelfläche\}=1526\backslash m^2\}$

Die Größe der zu mähenden Fläche beträgt: $\boxed{{\displaystyle 1526{\text{ m}}^2}}\backslash boxed\{1526\backslash m^2\}$.

Hinweis:

Wir haben hier für die Höhe $\mathbf{\text{h}}\backslash textbf\{h\}$ des Dreiecks mit dem auf $22$ Stellen nach dem Komma gerundeten Wert $\mathrm{21,80}21\{,\}80$ gerechnet, wenn du für $\mathbf{\text{h}}\backslash textbf\{h\}$ mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du $\mathrm{1526,02}1526\{,\}02$.

Berechnen des Radius des Kegels.

Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \backslash large\backslash mathrm\{A\_\{Kreis\}=r^2\backslash cdot\backslash pi\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Folgende Größen sind bekannt:

${\mathrm{G}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\mathrm{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={35}^2=1225{\text{ m}}^2\backslash mathrm\{G\_\{Kegel\}=G\_\{Pyramide\}=35^2=1225\backslash m^2\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Einsetzen der bekannten Größen und Auflösen der Formel nach $\mathbf{\text{r}}\backslash textbf\{r\}$:

$1225={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \mathrm{\mid }:\pi \backslash mathrm\{1225=\; r^2\backslash cdot\backslash pi\}\backslash quad|:\backslash pi$

${\displaystyle \frac{1225}{\pi }}={\mathrm{r}}^2\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{1225\}\{\backslash pi\}=r^2\}$

$\mathrm{389,93}={\mathrm{r}}^2\Rightarrow \mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{389,93}}\backslash mathrm\{389\{,\}93=r^2\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; r=\backslash sqrt\{389\{,\}93\}\}$

$\mathrm{r}=\mathrm{19,75}\text{ m}\backslash mathrm\{r=19\{,\}75\backslash m\}$

Der Radius des Kegels beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{19,75}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{19\{,\}75\backslash m\}$.

Vergleichen der Treppenlänge der Pyramide mit der Mantellinie des Kegels.

Der Radius $\mathbf{\text{r}}\backslash textbf\{r\}$ bildet mit der Höhe $\mathbf{\text{h}}\backslash textbf\{h\}$ und der Mantellinie $\mathbf{\text{m}}\backslash textbf\{m\}$ ein rechtwinkliges Dreieck.

In einem rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das obige Dreieck:

${\mathrm{m}}^2={\mathrm{r}}^2+{\mathrm{h}}^2\backslash mathrm\{m^2=r^2+h^2\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{r}=\mathrm{19,75}\text{ m}\mathrm{h}=13\text{ m}\backslash mathrm\{r=19\{,\}75\backslash m\backslash qquad\; h=13\backslash m\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Einsetzen der bekannten Größe in die Formel:

$\mathrm{m}=\sqrt{{\mathrm{19,75}}^2+{13}^2}\backslash mathrm\{m=\backslash sqrt\{19\{,\}75^2+13^2\}\}$

$\mathrm{m}=\sqrt{\mathrm{559,06}}\backslash mathrm\{m=\backslash sqrt\{559\{,\}06\}\}$

$\text{m}=\mathrm{23,64}\text{ m}\backslash text\{m\}=23\{,\}64\backslash m$

Treppenlänge der Pyramide: $\mathrm{21,80}\text{ m}21\{,\}80\backslash m$

Treppenlänge des Kegels: $\mathrm{23,64}\text{ m}23\{,\}64\backslash m$

Die Treppenlänge des Kegels ist größer als bei der Pyramide.

Kreuze entsprechend an.