Wahlteil

Berechnen, wie viel Kubikmeter Erde für den Bau der Pyramide benötigt wurden.

Die Formel zur Berechnung des Volumeninhalts einer Pyramide lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{G}\cdot \mathrm{h}\backslash large\backslash mathrm\{V\_\{Pyramide\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; G\backslash cdot\; h\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{h}=13\text{ m}\backslash mathrm\{h=13\backslash m\}$

Die Grundfläche $\mathbf{\text{G}}\backslash textbf\{G\}$ der Pyramide ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $\mathrm{a}=35\text{ m}\Rightarrow \backslash mathrm\{a=35\backslash m\backslash Rightarrow\}$

$\Rightarrow \text{G}={35}^2\backslash Rightarrow\; \backslash text\{G\}\; =35^2$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {35}^2\cdot 13\backslash mathrm\{V\_\{Pyramide\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot35^2\backslash cdot13\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 15925\backslash mathrm\{V\_\{Pyramide\}=\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash cdot15925\}$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{5308,33}{\text{ m}}^3\backslash mathrm\{V\_\{Pyramide\}=5308\{,\}33\backslash m^3\}$

Für den Bau der Pyramide wurden $\boxed{{\displaystyle \mathrm{5308,33}{\text{ m}}^3}}\backslash boxed\{5308\{,\}33\backslash m^3\}$ Erde benötigt.

Berechnen der Anzahl der Treppenstufen.

Folgende Größen sind bekannt:

Höhe der Pyramide: ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=13\text{ m}\backslash hspace\{8mm\}\backslash mathrm\{h\_K\}=13\backslash m$

Höhe einer Treppenstufe: ${\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}=20\text{ cm}\backslash mathrm\{h\_\{T\}=20\backslash cm\}$

Wir rechnen die Höhe der Treppenstufe in Meter um,

indem wir $2020$ durch $100100$ teilen.

${\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}={\displaystyle \frac{20}{100}}\Rightarrow {\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}=\mathrm{0,2}\text{ m}\backslash mathrm\{h\_T=\backslash dfrac\{20\}\{100\}\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; h\_T=0\{,\}2\backslash m\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{T}}=13:\mathrm{0,2}\backslash mathrm\{Anzahl\_T=13:0\{,\}2\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{T}}=65\backslash mathrm\{Anzahl\_T=65\}$

Die Anzahl der Treppenstufen beträgt: $\boxed{{\displaystyle 65}}\backslash \; \backslash boxed\{65\}$.

Berechnen der Treppenlänge x.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash large\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das farbig markierte Dreieck:

${\mathrm{x}}^2={{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2\Rightarrow \mathrm{x}=\sqrt{{{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2}\backslash mathrm\{x^2=\{h\_K\}^2+\backslash left(\backslash dfrac\{a\}\{2\}\backslash right)^2\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; x=\backslash sqrt\{\{h\_K\}^2+\backslash left(\backslash dfrac\{a\}\{2\}\backslash right)^2\}\}$

$\mathrm{x}=\sqrt{{13}^2+{\left({\displaystyle \frac{35}{2}}\right)}^2}\backslash mathrm\{x=\backslash sqrt\{13^2+\backslash left(\backslash dfrac\{35\}\{2\}\backslash right)^2\}\}$

$\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{474,25}}\backslash mathrm\{x=\backslash sqrt\{474\{,\}25\}\}$

$\text{x}\approx \mathrm{21,80}\backslash text\{x\}\backslash approx21\{,\}80$

Die Treppenlänge x beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{21,80}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{21\{,\}80\backslash m\}$.

Berechnen der Größe der zu mähenden Fläche.

Die zu mähende Fläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.

Die Mantelfläche besteht aus $44$ Dreiecken.

Berechnen des Flächeninhalts eines Dreiecks.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{g}\cdot \mathrm{h}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{g\backslash cdot\; h\}\{2\}\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\text{g}=35\text{ m}\text{ h}=\mathrm{21,80}\text{ m}\backslash text\{g\}=35\backslash m\backslash qquad\backslash h=21\{,\}80\backslash m$ (Treppenlänge $\mathbf{\text{x}}\backslash textbf\{x\}$, siehe Teilaufgabe 1c)

$\backslash rule\{114mm\}\{0.5mm\}$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{35\cdot \mathrm{21,80}}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{35\backslash cdot21\{,\}80\}\{2\}\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{763}{2}}\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=\backslash dfrac\{763\}\{2\}\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{381,5}{\text{ m}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Dreieck\}=381\{,\}5\backslash m^2\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=4\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}\backslash mathrm\{A\_\{Mantelfläche\}=4\backslash cdot\; A\_\{Dreieck\}\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=4\cdot \mathrm{381,5}\backslash mathrm\{A\_\{Mantelfläche\}=4\backslash cdot\; 381\{,\}5\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=1526{\text{ m}}^2\backslash mathrm\{A\_\{Mantelfläche\}=1526\backslash m^2\}$

Die Größe der zu mähenden Fläche beträgt: $\boxed{{\displaystyle 1526{\text{ m}}^2}}\backslash boxed\{1526\backslash m^2\}$.

Hinweis:

Wir haben hier für die Höhe $\mathbf{\text{h}}\backslash textbf\{h\}$ des Dreiecks mit dem auf $22$ Stellen nach dem Komma gerundeten Wert $\mathrm{21,80}21\{,\}80$ gerechnet, wenn du für $\mathbf{\text{h}}\backslash textbf\{h\}$ mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du $\mathrm{1526,02}1526\{,\}02$.

Berechnen des Radius des Kegels.

Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \backslash large\backslash mathrm\{A\_\{Kreis\}=r^2\backslash cdot\backslash pi\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Folgende Größen sind bekannt:

${\mathrm{G}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\mathrm{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={35}^2=1225{\text{ m}}^2\backslash mathrm\{G\_\{Kegel\}=G\_\{Pyramide\}=35^2=1225\backslash m^2\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Einsetzen der bekannten Größen und Auflösen der Formel nach $\mathbf{\text{r}}\backslash textbf\{r\}$:

$1225={\mathrm{r}}^2\cdot \pi \mathrm{\mid }:\pi \backslash mathrm\{1225=\; r^2\backslash cdot\backslash pi\}\backslash quad|:\backslash pi$

${\displaystyle \frac{1225}{\pi }}={\mathrm{r}}^2\backslash mathrm\{\backslash dfrac\{1225\}\{\backslash pi\}=r^2\}$

$\mathrm{389,93}={\mathrm{r}}^2\Rightarrow \mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{389,93}}\backslash mathrm\{389\{,\}93=r^2\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; r=\backslash sqrt\{389\{,\}93\}\}$

$\mathrm{r}=\mathrm{19,75}\text{ m}\backslash mathrm\{r=19\{,\}75\backslash m\}$

Der Radius des Kegels beträgt: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{19,75}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{19\{,\}75\backslash m\}$.

Vergleichen der Treppenlänge der Pyramide mit der Mantellinie des Kegels.

Der Radius $\mathbf{\text{r}}\backslash textbf\{r\}$ bildet mit der Höhe $\mathbf{\text{h}}\backslash textbf\{h\}$ und der Mantellinie $\mathbf{\text{m}}\backslash textbf\{m\}$ ein rechtwinkliges Dreieck.

In einem rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das obige Dreieck:

${\mathrm{m}}^2={\mathrm{r}}^2+{\mathrm{h}}^2\backslash mathrm\{m^2=r^2+h^2\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{r}=\mathrm{19,75}\text{ m}\mathrm{h}=13\text{ m}\backslash mathrm\{r=19\{,\}75\backslash m\backslash qquad\; h=13\backslash m\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Einsetzen der bekannten Größe in die Formel:

$\mathrm{m}=\sqrt{{\mathrm{19,75}}^2+{13}^2}\backslash mathrm\{m=\backslash sqrt\{19\{,\}75^2+13^2\}\}$

$\mathrm{m}=\sqrt{\mathrm{559,06}}\backslash mathrm\{m=\backslash sqrt\{559\{,\}06\}\}$

$\text{m}=\mathrm{23,64}\text{ m}\backslash text\{m\}=23\{,\}64\backslash m$

Treppenlänge der Pyramide: $\mathrm{21,80}\text{ m}21\{,\}80\backslash m$

Treppenlänge des Kegels: $\mathrm{23,64}\text{ m}23\{,\}64\backslash m$

Die Treppenlänge des Kegels ist größer als bei der Pyramide.

Kreuze entsprechend an.

Ergänzen der fehlenden Werte in der Tabelle.

Berechnen der fehlenden Werte:

Bekannte Werte:

Fahrzeit: $3\min \backslash \; 3\backslash min\backslash qquad$Grundgebühr: : $\mathrm{1,50}\text{ €}\backslash \; 1\{,\}50\backslash \; €\backslash qquad$Fahrpreis pro Minute: $\mathrm{0,25}\text{ €}\backslash \; 0\{,\}25\backslash \; €$

Gebühr für 3 Minuten: $\mathrm{1,50}\text{ €}+3\cdot \mathrm{0,25}\text{ €}=\mathrm{2,25}\text{ €}1\{,\}50\backslash \; €+3\backslash cdot0\{,\}25\backslash \; €=2\{,\}25\backslash \; €$

Fahrzeit für eine Gebühr von $\mathrm{4,75}\text{ €}4\{,\}75\backslash \; €$: $(\mathrm{4,75}\text{ €}-\mathrm{1,50}\text{ €}):\mathrm{0,25}{\displaystyle \frac{\text{€}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}=13\min \backslash mathrm\{\backslash left(4\{,\}75\backslash \; €-1\{,\}50\backslash \; €\backslash right):0\{,\}25\backslash \; \backslash dfrac\{€\}\{min\}=13\backslash min\}$

$\backslash rule\{115mm\}\{0.5mm\}$

Ergänzte Tabelle.

Aufstellen der Funktionsgleichung für das Angebot von ScooterOne.

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{b}\backslash mathrm\{y=m\backslash cdot\; x+b\}$

Die Gebühr für die einmalige Freischaltung entspricht dem $yy$-Achsenabschnitt $\mathbf{\text{b}}\backslash textbf\{b\}$.

$\mathbf{\text{b}}=\mathrm{1,50}\backslash textbf\{b\}=1\{,\}50$

Der Fahrpreis pro Minute entspricht der Steigung $\mathbf{\text{m}}\backslash textbf\{m\}$.

$\mathbf{\text{m}}=\mathrm{0,25}\backslash textbf\{m\}=0\{,\}25$

Die Funktionsgleichung lautet dann:

$\boxed{{\displaystyle \mathrm{y}=\mathrm{0,25}\mathrm{x}+\mathrm{1,50}}}\backslash boxed\{\backslash mathrm\{y=0\{,\}25x+1\{,\}50\}\}$

Berechne die Fahrzeit.

$\mathrm{y}=\mathrm{0,25}\mathrm{x}+\mathrm{1,50}\backslash mathrm\{y=0\{,\}25x+1\{,\}50\}$

Für $\mathrm{6,50}\text{ €}6\{,\}50\backslash \; €$ kann Nina $\mathbf{\text{20}}\backslash textbf\{20\}$ Minuten mit dem Scooter fahren.

Ergänzen des Graphen der Funktion für das Angebot von ScooterOne im Koordinatensystem.

Bestimmen der Fahrzeit, für die ScooterOne und Roller2Go den gleichen Preis verlangen.

Die Fahrzeit, für die ScooterOne und Roller2Go den gleichen Preis verlangen, beträgt: $\boxed{{\displaystyle 10\min }}\backslash boxed\{10\backslash min\}$.

Erklärung, zu Ninas Aussage.

Zum Beispiel:

Links vom Schnittpunkt der Graphen ist ScooterOne günstiger,

rechts vom Schnittpunkt Roller2Go.

Erklärung, welche Symbole mit der größten Wahrscheinlichkeit angezeigt werden.

Bei Rad 1 hat das Dreieck die größere Wahrscheinlichkeit angezeigt zu werden, da das Feld mit dem Dreieck dreimal so groß ist wie das Feld mit dem Stern.

Bei Rad 2 hat der Kreis die größere Wahrscheinlichkeit angezeigt zu werden, da das Feld mit dem Kreis doppelt so groß ist, wie das Feld mit dem Stern und wie das Feld mit dem Dreieck.

Ergänzen der fehlenden Wahrscheinlichkeiten.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn

Die Wahrscheinlichkeit, dass auf beiden Rädern ein Stern angezeigt wird:

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{x}\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{16}}\backslash mathrm\{P\_\{2xStern\}=\backslash dfrac14\backslash cdot\backslash dfrac14=\backslash dfrac\{1\}\{16\}\}$

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, beträgt $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{16}}}\backslash boxed\{\backslash dfrac\{1\}\{16\}\}$.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Symbole angezeigt werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Symbole angezeigt werden, berechnet sich wie folgt:

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{d}\mathrm{.}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}\backslash mathrm\{P\_\{2\backslash \; verschd.\; Symbole\}=\backslash dfrac34\backslash cdot\backslash dfrac14+\backslash dfrac34\backslash cdot\backslash dfrac24+\backslash dfrac14\backslash cdot\backslash dfrac14+\backslash dfrac14\backslash cdot\backslash dfrac24\}$

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{d}\mathrm{.}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{3}{16}}+{\displaystyle \frac{6}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{2}{16}}\backslash mathrm\{P\_\{2\backslash \; verschd.\; Symbole\}=\backslash dfrac\{3\}\{16\}+\backslash dfrac\{6\}\{16\}+\backslash dfrac\{1\}\{16\}+\backslash dfrac\{2\}\{16\}\}$

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{d}\mathrm{.}\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{12}{16}}\backslash mathrm\{P\_\{2\backslash \; verschd.\; Symbole\}=\backslash dfrac\{12\}\{16\}\}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Symbole angezeigt werden beträgt: $\boxed{{\displaystyle \frac{12}{16}}}\backslash \; \backslash boxed\{\backslash dfrac\{12\}\{16\}\}$.

Berechnen, wie viele Eis bei 1000 Spielen wahrscheinlich gewonnen werden.

Die Wahrscheinlichkeit 1 Spiel zu gewinnen beträgt ${\displaystyle \frac{1}{16}}\backslash \; \backslash dfrac\{1\}\{16\}$, (siehe Teilaufgabe 3c).

Bei 1000 Spielen gewinnt man dann wahrscheinlich: $1000\cdot {\displaystyle \frac{1}{16}}=\mathrm{62,5}1000\backslash cdot\backslash dfrac\{1\}\{16\}=62\{,\}5$

Bei 1000 Spielen gewinnt man wahrscheinlich $6363$ Eis, (der Wert ist gerundet, da nur ganze Eis gewonnen werden).

Gestalten des zweiten Glücksrad so, dass die gewünschte Wahrscheinlichkeit erzielt wird.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit war im 1. Jahr ${\displaystyle \frac{1}{16}}\backslash dfrac\{1\}\{16\}$

Die Gewinnwahrscheinlichkeit soll im 2. Jahr ${\displaystyle \frac{1}{32}}\backslash dfrac\{1\}\{32\}$ sein.

Das Feld mit dem Stern muss halbiert werden, der Anteil des Sterns muss dann ein Achtel betragen.

Berechnen der Länge der Strecke x.

Die Strecke x bildet mit der Strecke der Länge $\mathrm{46,6}\text{ m}46\{,\}6\backslash m$ und mit der Strecke der Länge $\mathrm{31,2}\text{ m}31\{,\}2\backslash m$ ein rechtwinkliges Dreieck. Wobei die Strecke x die Hypothenuse ist, die Strecke der Länge $\mathrm{46,6}\text{ m}46\{,\}6\backslash m$ und die Strecke der Länge $\mathrm{31,2}\text{ m}31\{,\}2\backslash m$ sind die Katheten.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2\backslash mathrm\{c^2=a^2+b^2\}$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf unser Dreieck:

${\mathrm{x}}^2={\mathrm{31,2}}^2+{\mathrm{46,6}}^2\backslash mathrm\{x^2=31\{,\}2^2+46\{,\}6^2\}$

$\mathrm{x}=\sqrt{3145}\backslash mathrm\{x=\backslash sqrt\{3145\}\}$

$\mathrm{x}\approx \mathrm{56,08}\backslash mathrm\{x\backslash approx56\{,\}08\}$

Die Länge der Strecke x beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{56,08}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{56\{,\}08\backslash m\}$.

Berechnen der Länge der Strecke y.

Der Tangens ist definiert als:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}\backslash tan\; (\backslash alpha\; )=\backslash dfrac\{\backslash text\{Gegenkathete\}\}\{\backslash text\{Ankathete\}\}$

In unserem Dreieck (kleines Dreieck) gilt:

$\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{y}\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}=\mathrm{31,2}\text{ m}\alpha ={37}^{\circ }\backslash mathrm\{Gegenkathete=y\backslash qquad\; Ankathede\; =31\{,\}2\backslash m\backslash qquad\; \backslash alpha=37^\backslash circ\}$

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({37}^{\circ })={\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{31,2}}}\Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{31,2}\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({37}^{\circ })\backslash mathrm\{tan(37^\backslash circ)=\backslash dfrac\{y\}\{31\{,\}2\}\backslash quad\; \backslash Rightarrow\backslash quad\; y=31\{,\}2\backslash cdot\; tan\{(37^\backslash circ)\}\}$

$\text{y}=\mathrm{31,2}\cdot \mathrm{0,7536}\backslash text\{y\}=31\{,\}2\backslash cdot0\{,\}7536$

$\text{y}\approx \mathrm{23,51}\backslash text\{y\}\backslash approx23\{,\}51$

Die Länge der Strecke y beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle \mathrm{23,51}\text{ m}}}\backslash \; \backslash boxed\{23\{,\}51\backslash m\}$.

Berechnen der Anzahl der vollen Umrundungen.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\mathrm{r}\cdot \pi \backslash mathrm\{U\_\{Kreis\}=2r\backslash cdot\backslash pi\}$

$\backslash rule\{110mm\}\{0.5mm\}$

Einsetzen des Radius (siehe Skizze) in die Formel:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{n}}=2\cdot 24\cdot \pi \backslash mathrm\{U\_\{Kreisbahn\}=2\backslash cdot24\backslash cdot\backslash pi\}$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{n}}=\mathrm{150,80}\text{ m}\backslash mathrm\{U\_\{Kreisbahn\}=150\{,\}80\backslash m\}$

$\backslash rule\{110mm\}\{0.5mm\}$

Der Weg von Dilara zur Kreisbahn und zurück ist:

$\mathrm{W}\mathrm{e}{\mathrm{g}}_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}-\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{.}}=2\cdot \mathrm{38,42}\backslash mathrm\{Weg\_\{Dilara-Kreisb.\}=2\backslash cdot38\{,\}42\}$

$\mathrm{W}\mathrm{e}{\mathrm{g}}_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}-\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{.}}=\mathrm{76,84}\text{ m}\backslash mathrm\{Weg\_\{Dilara-Kreisb.\}=76\{,\}84\backslash m\}$

$\backslash rule\{110mm\}\{0.5mm\}$

Anzahl der vollen Umrundungen:

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{.}}=(1000-\mathrm{76,84}):\mathrm{150,80}\backslash mathrm\{Anzahl\_\{Umrund.\}=(1000-76\{,\}84):150\{,\}80\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{.}}=\mathrm{6,12}\backslash mathrm\{Anzahl\_\{Umrund.\}=6\{,\}12\}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{.}}=6\backslash mathrm\{Anzahl\_\{volle\backslash \; Umrund.\}=6\}$

Der Akku der Drohne ist nach $\boxed{{\displaystyle 6}}\backslash boxed\{6\}$ vollen Umrundungen leer.

Berechnen der Größe des Winkels β.

Das Dreieck mit den Seiten r, h und $\mathbf{\text{38,42}}\backslash textbf\{38\{,\}42\}$, ist ein rechtwinkliges Dreieck, wobei r die Gegenkathete des Winkles $\beta \backslash beta$ ist. Die Seite $\mathrm{38,42}38\{,\}42$ ist die Hypothenuse.

Der Sinus im rechtwinkligem Dreieck ist definiert als:

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}}}\backslash mathrm\{\backslash sin\{\backslash alpha\}=\backslash dfrac\{Gegenkathete\}\{Hypotenus\}\}$

Für unser Dreieck gilt dann:

$\sin \beta ={\displaystyle \frac{24}{\mathrm{38,42}}}\backslash mathrm\{\backslash sin\{\backslash beta\}=\backslash dfrac\{24\}\{38\{,\}42\}\}$

$\sin \beta \approx \mathrm{0,6247}\backslash mathrm\{\backslash sin\{\backslash beta\}\backslash approx0\{,\}6247\}$

$\beta \approx {\mathrm{38,66}}^{\circ }\backslash hspace\{4.7mm\}\backslash beta\backslash approx38\{,\}66^\backslash circ$

Der Winkel $\beta \backslash beta$ beträgt ungefähr: $\boxed{{\displaystyle {\mathrm{38,66}}^{\circ }}}\backslash boxed\{38\{,\}66^\backslash circ\}$.

Wenn der Winkel $\beta \backslash beta$ größer wird und die Höhe $\mathbf{\text{h}}\backslash textbf\{h\}$ bleibt gleich, dann wird der Radius $\mathbf{\text{r}}\backslash textbf\{r\}$ der Kreisbahn größer.

Die Kreisbahn wird größer, die Anzahl der Umrundungen verringert sich dann.

Kreuze entsprechend an.