Wahlteil

Berechnen, wie viel Kubikmeter Erde für den Bau der Pyramide benötigt wurden.

Die Formel zur Berechnung des Volumeninhalts einer Pyramide lautet:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot \mathrm{G}\cdot \mathrm{h}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{h}=13\text{ m}$

Die Grundfläche $\text{𝐆}$ der Pyramide ist ein Quadrat mit der Seitenlänge $\mathrm{a}=35\text{ m}\Rightarrow$

$\Rightarrow \text{G}={35}^2$

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {35}^2\cdot 13$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 15925$

${\mathrm{V}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}=\mathrm{5308,33}{\text{ m}}^3$

Für den Bau der Pyramide wurden $\mathrm{5308,33}{\text{ m}}^3$ Erde benötigt.

Berechnen der Anzahl der Treppenstufen.

Folgende Größen sind bekannt:

Höhe der Pyramide: ${\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}=13\text{ m}$

Höhe einer Treppenstufe: ${\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}=20\text{ cm}$

Wir rechnen die Höhe der Treppenstufe in Meter um,

indem wir $20$ durch $100$ teilen.

${\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}={\displaystyle \frac{20}{100}}\Rightarrow {\mathrm{h}}_{\mathrm{T}}=\mathrm{0,2}\text{ m}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{T}}=13:\mathrm{0,2}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{T}}=65$

Die Anzahl der Treppenstufen beträgt: $65$.

Berechnen der Treppenlänge x.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das farbig markierte Dreieck:

${\mathrm{x}}^2={{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2\Rightarrow \mathrm{x}=\sqrt{{{\mathrm{h}}_{\mathrm{K}}}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{2}}\right)}^2}$

$\mathrm{x}=\sqrt{{13}^2+{\left({\displaystyle \frac{35}{2}}\right)}^2}$

$\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{474,25}}$

$\text{x}\approx \mathrm{21,80}$

Die Treppenlänge x beträgt ungefähr: $\mathrm{21,80}\text{ m}$.

Berechnen der Größe der zu mähenden Fläche.

Die zu mähende Fläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.

Die Mantelfläche besteht aus $4$ Dreiecken.

Berechnen des Flächeninhalts eines Dreiecks.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{\mathrm{g}\cdot \mathrm{h}}{2}}$

Folgende Größen sind bekannt:

$\text{g}=35\text{ m}\text{ h}=\mathrm{21,80}\text{ m}$ (Treppenlänge $\text{𝐱}$, siehe Teilaufgabe 1c)

Einsetzen der bekannten Größen in die Formel:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{35\cdot \mathrm{21,80}}{2}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}={\displaystyle \frac{763}{2}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}=\mathrm{381,5}{\text{ m}}^2$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=4\cdot {\mathrm{A}}_{\mathrm{D}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{k}}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=4\cdot \mathrm{381,5}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{f}\mathrm{l}\ddot{\mathrm{a}}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}}=1526{\text{ m}}^2$

Die Größe der zu mähenden Fläche beträgt: $1526{\text{ m}}^2$.

Hinweis:

Wir haben hier für die Höhe $\text{𝐡}$ des Dreiecks mit dem auf $2$ Stellen nach dem Komma gerundeten Wert $\mathrm{21,80}$ gerechnet, wenn du für $\text{𝐡}$ mit dem Wert rechnest, den der Rechner liefert, erhältst du $\mathrm{1526,02}$.

Berechnen des Radius des Kegels.

Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises lautet:

${\mathrm{A}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }$

Folgende Größen sind bekannt:

${\mathrm{G}}_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{l}}={\mathrm{G}}_{\mathrm{P}\mathrm{y}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}}={35}^2=1225{\text{ m}}^2$

Einsetzen der bekannten Größen und Auflösen der Formel nach $\text{𝐫}$:

$1225={\mathrm{r}}^2\cdot \mathrm{\pi }|:\pi$

${\displaystyle \frac{1225}{\mathrm{\pi }}}={\mathrm{r}}^2$

$\mathrm{389,93}={\mathrm{r}}^2\Rightarrow \mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{389,93}}$

$\mathrm{r}=\mathrm{19,75}\text{ m}$

Der Radius des Kegels beträgt: $\mathrm{19,75}\text{ m}$.

Vergleichen der Treppenlänge der Pyramide mit der Mantellinie des Kegels.

Der Radius $\text{𝐫}$ bildet mit der Höhe $\text{𝐡}$ und der Mantellinie $\text{𝐦}$ ein rechtwinkliges Dreieck.

In einem rechtwinkligem Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf das obige Dreieck:

${\mathrm{m}}^2={\mathrm{r}}^2+{\mathrm{h}}^2$

Folgende Größen sind bekannt:

$\mathrm{r}=\mathrm{19,75}\text{ m}\mathrm{h}=13\text{ m}$

Einsetzen der bekannten Größe in die Formel:

$\mathrm{m}=\sqrt{{\mathrm{19,75}}^2+{13}^2}$

$\mathrm{m}=\sqrt{\mathrm{559,06}}$

$\text{m}=\mathrm{23,64}\text{ m}$

Treppenlänge der Pyramide: $\mathrm{21,80}\text{ m}$

Treppenlänge des Kegels: $\mathrm{23,64}\text{ m}$

Die Treppenlänge des Kegels ist größer als bei der Pyramide.

Kreuze entsprechend an.

Ergänzen der fehlenden Werte in der Tabelle.

Berechnen der fehlenden Werte:

Bekannte Werte:

Fahrzeit: $3\min$Grundgebühr: : $\mathrm{1,50}€$Fahrpreis pro Minute: $\mathrm{0,25}€$

Gebühr für 3 Minuten: $\mathrm{1,50}€+3\cdot \mathrm{0,25}€=\mathrm{2,25}€$

Fahrzeit für eine Gebühr von $\mathrm{4,75}€$: $(\mathrm{4,75}€-\mathrm{1,50}€):\mathrm{0,25}{\displaystyle \frac{€}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}=13\min$

Ergänzte Tabelle.

Aufstellen der Funktionsgleichung für das Angebot von ScooterOne.

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

$\mathrm{y}=\mathrm{m}\cdot \mathrm{x}+\mathrm{b}$

Die Gebühr für die einmalige Freischaltung entspricht dem $y$-Achsenabschnitt $\text{𝐛}$.

$\text{𝐛}=\mathrm{1,50}$

Der Fahrpreis pro Minute entspricht der Steigung $\text{𝐦}$.

$\text{𝐦}=\mathrm{0,25}$

Die Funktionsgleichung lautet dann:

$\mathrm{y}=\mathrm{0,25}\mathrm{x}+\mathrm{1,50}$

Berechne die Fahrzeit.

$\mathrm{y}=\mathrm{0,25}\mathrm{x}+\mathrm{1,50}$

Für $\mathrm{6,50}€$ kann Nina $\text{𝟐𝟎}$ Minuten mit dem Scooter fahren.

Ergänzen des Graphen der Funktion für das Angebot von ScooterOne im Koordinatensystem.

Bestimmen der Fahrzeit, für die ScooterOne und Roller2Go den gleichen Preis verlangen.

Die Fahrzeit, für die ScooterOne und Roller2Go den gleichen Preis verlangen, beträgt: $10\min$.

Erklärung, zu Ninas Aussage.

Zum Beispiel:

Links vom Schnittpunkt der Graphen ist ScooterOne günstiger,

rechts vom Schnittpunkt Roller2Go.

Erklärung, welche Symbole mit der größten Wahrscheinlichkeit angezeigt werden.

Bei Rad 1 hat das Dreieck die größere Wahrscheinlichkeit angezeigt zu werden, da das Feld mit dem Dreieck dreimal so groß ist wie das Feld mit dem Stern.

Bei Rad 2 hat der Kreis die größere Wahrscheinlichkeit angezeigt zu werden, da das Feld mit dem Kreis doppelt so groß ist, wie das Feld mit dem Stern und wie das Feld mit dem Dreieck.

Ergänzen der fehlenden Wahrscheinlichkeiten.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn

Die Wahrscheinlichkeit, dass auf beiden Rädern ein Stern angezeigt wird:

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{x}\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$

Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{16}}$.

Berechnen der Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Symbole angezeigt werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Symbole angezeigt werden, berechnet sich wie folgt:

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{d}.\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{4}}$

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{d}.\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{3}{16}}+{\displaystyle \frac{6}{16}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}+{\displaystyle \frac{2}{16}}$

${\mathrm{P}}_{2\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{d}.\mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}={\displaystyle \frac{12}{16}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Symbole angezeigt werden beträgt: ${\displaystyle \frac{12}{16}}$.

Berechnen, wie viele Eis bei 1000 Spielen wahrscheinlich gewonnen werden.

Die Wahrscheinlichkeit 1 Spiel zu gewinnen beträgt ${\displaystyle \frac{1}{16}}$, (siehe Teilaufgabe 3c).

Bei 1000 Spielen gewinnt man dann wahrscheinlich: $1000\cdot {\displaystyle \frac{1}{16}}=\mathrm{62,5}$

Bei 1000 Spielen gewinnt man wahrscheinlich $63$ Eis, (der Wert ist gerundet, da nur ganze Eis gewonnen werden).

Gestalten des zweiten Glücksrad so, dass die gewünschte Wahrscheinlichkeit erzielt wird.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit war im 1. Jahr ${\displaystyle \frac{1}{16}}$

Die Gewinnwahrscheinlichkeit soll im 2. Jahr ${\displaystyle \frac{1}{32}}$ sein.

Das Feld mit dem Stern muss halbiert werden, der Anteil des Sterns muss dann ein Achtel betragen.

Berechnen der Länge der Strecke x.

Die Strecke x bildet mit der Strecke der Länge $\mathrm{46,6}\text{ m}$ und mit der Strecke der Länge $\mathrm{31,2}\text{ m}$ ein rechtwinkliges Dreieck. Wobei die Strecke x die Hypothenuse ist, die Strecke der Länge $\mathrm{46,6}\text{ m}$ und die Strecke der Länge $\mathrm{31,2}\text{ m}$ sind die Katheten.

Der Satz des Pythagoras lautet:

${\mathrm{c}}^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Der Satz des Pythagoras angewandt auf unser Dreieck:

${\mathrm{x}}^2={\mathrm{31,2}}^2+{\mathrm{46,6}}^2$

$\mathrm{x}=\sqrt{3145}$

$\mathrm{x}\approx \mathrm{56,08}$

Die Länge der Strecke x beträgt ungefähr: $\mathrm{56,08}\text{ m}$.

Berechnen der Länge der Strecke y.

Der Tangens ist definiert als:

$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$

In unserem Dreieck (kleines Dreieck) gilt:

$\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}=\mathrm{y}\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}=\mathrm{31,2}\text{ m}\mathrm{\alpha }={37}^{\circ }$

$\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({37}^{\circ })={\displaystyle \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{31,2}}}\Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{31,2}\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}({37}^{\circ })$

$\text{y}=\mathrm{31,2}\cdot \mathrm{0,7536}$

$\text{y}\approx \mathrm{23,51}$

Die Länge der Strecke y beträgt ungefähr: $\mathrm{23,51}\text{ m}$.

Berechnen der Anzahl der vollen Umrundungen.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Kreises lautet:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}}=2\mathrm{r}\cdot \mathrm{\pi }$

Einsetzen des Radius (siehe Skizze) in die Formel:

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{n}}=2\cdot 24\cdot \mathrm{\pi }$

${\mathrm{U}}_{\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{h}\mathrm{n}}=\mathrm{150,80}\text{ m}$

Der Weg von Dilara zur Kreisbahn und zurück ist:

$\mathrm{W}\mathrm{e}{\mathrm{g}}_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}-\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{b}.}=2\cdot \mathrm{38,42}$

$\mathrm{W}\mathrm{e}{\mathrm{g}}_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}-\mathrm{K}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{b}.}=\mathrm{76,84}\text{ m}$

Anzahl der vollen Umrundungen:

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}.}=(1000-\mathrm{76,84}):\mathrm{150,80}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}.}=\mathrm{6,12}$

$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{h}{\mathrm{l}}_{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}.}=6$

Der Akku der Drohne ist nach $6$ vollen Umrundungen leer.

Berechnen der Größe des Winkels β.

Das Dreieck mit den Seiten r, h und $\text{𝟑𝟖,𝟒𝟐}$, ist ein rechtwinkliges Dreieck, wobei r die Gegenkathete des Winkles $\beta$ ist. Die Seite $\mathrm{38,42}$ ist die Hypothenuse.

Der Sinus im rechtwinkligem Dreieck ist definiert als:

$\sin \mathrm{\alpha }={\displaystyle \frac{\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}}{\mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{s}}}$

Für unser Dreieck gilt dann:

$\sin \mathrm{\beta }={\displaystyle \frac{24}{\mathrm{38,42}}}$

$\sin \mathrm{\beta }\approx \mathrm{0,6247}$

$\beta \approx {\mathrm{38,66}}^{\circ }$

Der Winkel $\beta$ beträgt ungefähr: ${\mathrm{38,66}}^{\circ }$.

Wenn der Winkel $\beta$ größer wird und die Höhe $\text{𝐡}$ bleibt gleich, dann wird der Radius $\text{𝐫}$ der Kreisbahn größer.

Die Kreisbahn wird größer, die Anzahl der Umrundungen verringert sich dann.

Kreuze entsprechend an.