B1 - lernen mit Serlo!

Aufgabe 2

Die Aufgabe 2 ist eine Fortsetzung der Aufgabe 1.

Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, x \in ℝ$ .

Die 1. Ableitung ist $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .

Gegeben ist die Funktion $t$ mit $t (x) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3}, x \in ℝ$ , und der Wendepunkt $W (3 | f (3))$ des Graphen von $f$ .

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist. (4 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist
Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
$W \in t$ d.h. $f (3) = t (3)$ .
Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
Gegeben sind: $W (3 | f (3)), f (x) = 10 \cdot (x - 1) \cdot e^{- x}, t (x) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3}$ ,
und nach Aufgabe 1 auch $f^{'} (x) = 10 \cdot (2 - x) \cdot e^{- x}$ .
Überprüfung der 1. Bedingung:
Es ist $f (3) = 10 \cdot (3 - 1) \cdot e^{- 3} = 20 \cdot e^{- 3}$ und $t (3) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot 3 + 50 \cdot e^{- 3} = 20 \cdot e^{- 3} \Rightarrow f (3) = t (3) ✓$ .
Überprüfung der 2. Bedingung:
Für $t^{'} (x)$ erhält man: $t^{'} (x) = - 10 \cdot e^{- 3}$
Dann ist $f^{'} (3) = 10 \cdot (2 - 3) \cdot e^{- 3} = - 10 \cdot e^{- 3} = t^{'} (3) ✓$ .
Die beiden Bedingungen sind erfüllt und der Graph von $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W (3 | f (3))$ .
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Wenn $t$ Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist, dann muss für den Punkt $W$ gelten:
$W \in t$ , d.h. $f (3) = t (3)$ .
Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $W$ gleich groß sein, d.h. $f^{'} (3) = t^{'} (3)$ .
Überprüfe die beiden Bedingungen.
Die Schnittpunkte der in Aufgabe 2 gegebenen Tangente mit den beiden Koordinatenachsen legen eine Strecke fest.
Berechnen Sie die Länge dieser Strecke. (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge eines Vektors
Berechne die Länge dieser Strecke
Es ist $t (x) = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3}$ .
Der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ist $t (0) \Rightarrow t (0) = 50 \cdot e^{- 3}$ .
Dann ist $S_{y} (0 | 50 \cdot e^{- 3})$ .
Für den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse setze $t (x) = 0$ .
$0 = - 10 \cdot e^{- 3} \cdot x + 50 \cdot e^{- 3} = 10 \cdot e^{- 3} (- x + 5) \Rightarrow x = 5$
Dann ist $S_{x} (5 | 0)$ .
Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .
Setze die Koordinaten von $S_{x}$ und $S_{y}$ ein:
$d = \sqrt{(5 - 0)^{2} + (0 - 50 \cdot e^{- 3})^{2}} = \sqrt{25 + 2500 \cdot e^{- 6}} \approx 5,5854$
Die Länge dieser Strecke beträgt rund $5,5854 LE$ .
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Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse $\Rightarrow S_{y} (x_{1} | y_{1})$ .
Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse $\Rightarrow S_{x} (x_{2} | y_{2})$ .
Für den Abstand von $2$ Punkten verwende $d = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$ .
Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ (siehe Abbildung 2).
Bestimmen Sie den Flächeninhalt von $F$ . (3 P)
Abbildung 2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Bestimme den Flächeninhalt von $F$
Bekannt ist: Im Intervall $[1; 5]$ begrenzen der Graph von $f$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $x$ -Achse eine Fläche $F$ und es ist $W (3 | f (3))$ .
Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
Dann gilt: $A_{1} = \int_{1}^{3} f (x) d x$ und $A_{2} = \int_{3}^{5} t (x) d x$ .
Der CAS-Rechner liefert das Ergebnis für $F = A_{1} + A_{2}$ :
Der Flächeninhalt von $F$ beträgt auf vier Nachkommastellen gerundet $3,18 FE$ .
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Die Fläche $F$ besteht aus 2 Teilen $F = A_{1} + A_{2}$ .
Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $1$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ .
Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x = 3$ und die rechte Intervallgrenze $5$ .
Berechne mit dem CAS die Summe der beiden Integrale.
Runde auf vier Nachkommastellen.

Diese Aufgabe stammt vom Ministerium für Schule und Bildung des Landes Nordrhein-Westfalen → Was bedeutet das?

Aufgabe 2

Weise rechnerisch nach, dass der Graph von t die Tangente an den Graphen von f im Punkt W ist

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Berechne die Länge dieser Strecke

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Bestimme den Flächeninhalt von F

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Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $t$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W$ ist

Bestimme den Flächeninhalt von $F$