Weise rechnerisch nach, dass der Graph von $tt$ die Tangente an den Graphen von $ff$ im Punkt $WW$ ist

Wenn $tt$ Tangente an den Graphen von $ff$ im Punkt $WW$ ist, dann muss für den Punkt $WW$ gelten:

• $W\in tW\backslash in\; t$ d.h. $f(3)=t(3)f(3)=t(3)$.

• Die Steigungen der beiden Graphen müssen im Punkt $WW$ gleich groß sein, d.h. $f^{\mathrm{\prime }}(3)=t^{\mathrm{\prime }}(3)f\text{'}(3)=t\text{'}(3)$.

Gegeben sind:$W(3\mid f(3)),f(x)=10\cdot (x-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-x},t(x)=-10\cdot {\mathrm{e}}^{-3}\cdot x+50\cdot {\mathrm{e}}^{-3}W(3\; \backslash mid\; f(3)),\; f(x)=10\; \backslash cdot(x-1)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\},t(x)=-10\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\; \backslash cdot\; x+50\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}$,

und nach Aufgabe 1 auch $f^{\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot (2-x)\cdot {\mathrm{e}}^{-x}f\text{'}(x)=10\backslash cdot(2-x)\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-x\}$.

Überprüfung der 1. Bedingung:

Es ist $f(3)=10\cdot (3-1)\cdot {\mathrm{e}}^{-3}=20\cdot {\mathrm{e}}^{-3}f(3)=10\; \backslash cdot(3-1)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}=20\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}$ und $t(3)=-10\cdot {\mathrm{e}}^{-3}\cdot 3+50\cdot {\mathrm{e}}^{-3}=20\cdot {\mathrm{e}}^{-3}\Rightarrow f(3)=t(3)\mathrm{✓}t(3)=-10\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\; \backslash cdot\; 3+50\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}=20\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f(3)=t(3)\backslash ;\backslash checkmark$.

Überprüfung der 2. Bedingung:

Für $t^{\mathrm{\prime }}(x)t\text{'}(x)$ erhält man: $t^{\mathrm{\prime }}(x)=-10\cdot {\mathrm{e}}^{-3}t\text{'}(x)=-10\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}$

Dann ist $f^{\mathrm{\prime }}(3)=10\cdot (2-3)\cdot {\mathrm{e}}^{-3}=-10\cdot {\mathrm{e}}^{-3}=t^{\mathrm{\prime }}(3)\mathrm{✓}f\text{'}(3)=10\backslash cdot(2-3)\backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}=-10\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}=t\text{'}(3)\backslash ;\backslash checkmark$.

Die beiden Bedingungen sind erfüllt und der Graph von $tt$ ist die Tangente an den Graphen von $ff$ im Punkt $W(3\mid f(3))W(3\; \backslash mid\; f(3))$.

Berechne die Länge dieser Strecke

Es ist $t(x)=-10\cdot {\mathrm{e}}^{-3}\cdot x+50\cdot {\mathrm{e}}^{-3}t(x)=-10\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\; \backslash cdot\; x+50\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}$.

Der Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse ist $t(0)\Rightarrow t(0)=50\cdot {\mathrm{e}}^{-3}t(0)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;t(0)=50\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}$.

Dann ist $S_y(0\mathrm{\mid }50\cdot {\mathrm{e}}^{-3})S\_y(0|50\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\})$.

Für den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse setze $t(x)=0t(x)=0$.

$0=-10\cdot {\mathrm{e}}^{-3}\cdot x+50\cdot {\mathrm{e}}^{-3}=10\cdot {\mathrm{e}}^{-3}(-x+5)\Rightarrow x=50=-10\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}\; \backslash cdot\; x+50\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\}=10\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-3\}(-x+5)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=5$

Dann ist $S_x(5\mathrm{\mid }0)S\_x(5|0)$.

Für den Abstand von $22$ Punkten verwende $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}d=\backslash sqrt\{(x\_2-x\_1)^2+(y\_2-y\_1)^2\}$.

Setze die Koordinaten von $S_{x}S\_x$ und $S_{y}S\_y$ ein:

$d=\sqrt{(5-0{)}^2+(0-50\cdot {\mathrm{e}}^{-3}{)}^2}=\sqrt{25+2500\cdot {\mathrm{e}}^{-6}}\approx \mathrm{5,5854}d=\backslash sqrt\{(5-0)^2+(0-50\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{e\}^\{-3\})^2\}=\backslash sqrt\{25+2500\backslash cdot\backslash mathrm\{e\}^\{-6\}\}\backslash approx5\{,\}5854$

Die Länge dieser Strecke beträgt rund $\mathrm{5,5854}\mathrm{L}\mathrm{E}5\{,\}5854\; \backslash ;\backslash mathrm\{LE\}$.

Bestimme den Flächeninhalt von $FF$

Bekannt ist: Im Intervall $[1;5][1\; ;\; 5]$ begrenzen der Graph von $ff$ und die in Aufgabe 2 gegebene Tangente zusammen mit der $xx$-Achse eine Fläche $FF$ und es ist $W(3\mid f(3))W(3\; \backslash mid\; f(3))$.

Die Fläche $FF$ besteht aus 2 Teilen $F=A_1+A_{2}F=A\_1\; +A\_2$.

Die Grenzen für die Flächenberechnung der ersten Fläche sind die linke Intervallgrenze $11$ und die x-Koordinate des Wendepunkte $x=3x=3$.

Die Grenzen für die Flächenberechnung der zweiten Fläche sind die x-Koordinate des Wendepunkte $x=3x=3$ und die rechte Intervallgrenze $55$.

Dann gilt: $A_1={\displaystyle {\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x}A\_1=\backslash displaystyle\backslash int\_1^3f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$ und $A_2={\displaystyle {\int }_3^{5}t(x)\mathrm{d}x}A\_2=\backslash displaystyle\backslash int\_3^5t(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x$.

Der CAS-Rechner liefert das Ergebnis für $F=A_1+A_{2}F=A\_1\; +A\_2$:

Der Flächeninhalt von $FF$ beträgt auf vier Nachkommastellen gerundet $\mathrm{3,18}\mathrm{F}\mathrm{E}3\{,\}18\backslash ;\backslash mathrm\{FE\}$.