Bestimme die Werte der Parameter $a$ und $b$, wenn der Erwartungswert von X gleich $\mathrm{1,7}$ ist

$E(X)=0\cdot a+1\cdot 2b+2\cdot b+3\cdot \mathrm{0,1}+4\cdot \mathrm{0,1}+5\cdot \mathrm{0,04}$

$E(X)=4b+\mathrm{0,9}=\mathrm{1,7}\Rightarrow 4b=\mathrm{0,8}\Rightarrow b=\mathrm{0,2}$

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss $1$ ergeben:

$1=a+2b+b+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,1}+\mathrm{0,04}=a+3b+\mathrm{0,24}\Rightarrow 1=a+3\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{0,24}$

$\Rightarrow 1=a+\mathrm{0,84}\Rightarrow a=1-\mathrm{0,84}=\mathrm{0,16}$

Die Werte der Parameter $a$ und $b$, wenn der Erwartungswert von X gleich $\mathrm{1,7}$ ist, sind $a=\mathrm{1,6}$ und $b=\mathrm{0,2}$.

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte von $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen

Es gilt nun:

Es gilt: $V(X)=E(X^2)-{\mu }^2$

Dann ist: $V(X)=0^2\cdot \mathrm{0,16}+1^2\cdot \mathrm{0,4}+2^2\cdot \mathrm{0,2}+3^2\cdot \mathrm{0,1}+4^2\cdot \mathrm{0,1}+5^2\cdot \mathrm{0,04}-{\mathrm{1,7}}^2=\mathrm{1,81}$

$\sigma =\sqrt{V(X)}=\sqrt{\mathrm{1,81}}\approx \mathrm{1,345}$

$\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma$

$\mathrm{1,7}-\mathrm{1,345}\le X\le \mathrm{1,7}+\mathrm{1,345}\Rightarrow \mathrm{0,355}\le X\le \mathrm{3,045}$$\Rightarrow X\in \{1;2;3\}$

$P(1\le X\le 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\mathrm{0,4}+\mathrm{0,2}+\mathrm{0,1}=\mathrm{0,7}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallswerte von $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen, beträgt $\mathrm{0,7}$.