Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Funktion $g : x \mapsto \sqrt{x - 2}$ mit $x \in [2; + \infty [$ .

Abbildung 2 zeigt den Graphen $G$ von $g$ sowie den Punkt $P (3 | 1)$ . Die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ ist die Tangente an $G$ im Punkt $P$ und hat mit $G$ nur den Punkt $P$ gemeinsam.

Zeichnen Sie die Tangente in Abbildung 2 ein. (1 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente an Graph
Zeichne die Tangente in Abbildung 2 ein
Tangente
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Betrachtet wird eine Gerade, die mit $G$ sowohl den Punkt $P$ als auch einen weiteren Punkt gemeinsam hat. Geben Sie alle möglichen Steigungen dieser Geraden an.
(4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Gib alle möglichen Steigungen dieser Geraden an
1. Für $x \in] 3; \infty [$ gilt:
Die Steigung $m$ der Geraden muss kleiner sein als die Steigung der Tangente, aber größer als null.
Es gilt: $\lim_{x \to + \infty} g^{'} (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x - 2}} = 0$
Also $0 < m < 0,5$ .
2. Für $x \in [2; 3 [$ gilt:
$0,5 < m \leq 1$
Damit gilt insgesamt: $m \in] 0; 0,5 [\cup] 0,5; 1]$
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Die Steigung $m$ der Geraden muss kleiner sein als die Steigung der Tangente.
Welche untere Grenze besteht für $m$ ?

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Zeichne die Tangente in Abbildung 2 ein

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Gib alle möglichen Steigungen dieser Geraden an

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