Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Zeichne den Graphen von f für $-3\le x\le 3$ in ein Koordinatensystem ein

Der Graph von $f$ ist eine nach unten geöffnete Normalparabel, die mit dem Faktor ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ gestaucht und um $1$ in positive y-Achsenrichtung verschoben wurde.

$f(-3)=f(3)=-\mathrm{3,5}$

Berechne $a$

$${\displaystyle {\int }_0^a(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+1)\mathrm{d}x={[-\frac{1}{6}{x}^3+x]}_0^a=0}$$

$\Rightarrow (-{\displaystyle \frac{1}{6}}{a}^3+a)-0=0\Rightarrow a\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{6}}{a}^2+1)=0$

Verwende den Satz vom Nullprodukt:

$a=0$ oder $a=\pm \sqrt{6}$

Da es genau eine positive reelle Zahl $a$ gibt, ist $a=\sqrt{6}$ die gesuchte Lösung.

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Beschreibe, wie man rechnerisch nachweisen kann, dass $2$ eine Wendestelle von $g$ ist

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $g^{\prime \prime }(x)=0$.

Berechne zunächst $g^{\prime }(x)$ und dann $g^{\prime \prime }(x)$ und zeige, dass $g^{\prime \prime }(2)=0$ ist.

Die Wendestelle liegt bei $x=2$, wenn die hinreichende Bedingung $g^{\prime \prime \prime }(x)\ne 0$ erfüllt ist, oder $g^{\prime \prime }(x)$ an der Stelle $x=2$ einen Vorzeichenwechsel hat.

Gib die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $h$ an und begründe Deine Angabe

Der Punkt $(2|3)$ ist der einzige Wendepunkt des Graphen von $g$. Die in $ℝ$ definierte Funktion $h$ ist gegeben durch $h(x)=g(2x)-1$.

$g(x)$ hat an der Stelle $x=2$ einen Wendepunkt mit $g(2)=3$

Die Funktion $g^{\ast }(2x)$ hat dann an der Stelle $2x=2$ $\Rightarrow x=1$, d.h. an der Stelle $x=1$ einen Wendepunkt.

Für den Wendepunkt von $h$ muss dann $x=1$ sei.

$h(1)=g(2\cdot 1)-1=3-1=2\Rightarrow W(1|2)$ ist der Wendepunkt des Graphen von $h$.

Zeige, dass $2$ eine Extremstelle von $f$ ist

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Berechne $f^{\prime }(x)$ und zeige, dass $f^{\prime }(2)=0$ ist.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3-3x$

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2-3\Rightarrow f^{\prime }(2)={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot 2^2-3=0$

Bekannt ist: Für die zweite Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f^{\prime \prime }(2)\ne 0$.

Damit ist $2$ eine Extremstelle von $f$.

Gib diesen Graphen an und begründe Deine Angabe

Graph II ist der gesuchte Graph von $G_F$.

Wenn $G_f$ an der Stelle $x=2$ ein Extremum hat, dann hat nach der NEW-Regel $G_F$ an der Stelle $x=2$ einen Wendepunkt. Dies gilt für den Graphen II.

Zeichne die Tangente in Abbildung 2 ein

Gib alle möglichen Steigungen dieser Geraden an

1. Für $x\in ]3;\infty [$ gilt:

Die Steigung $m$ der Geraden muss kleiner sein als die Steigung der Tangente, aber größer als null.

Es gilt: $${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{g}^{\prime }(x)={\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{2\cdot \sqrt{x-2}}}=0}}$$

Also $0<m<\mathrm{0,5}$.

2. Für $x\in [2;3[$ gilt:

$\mathrm{0,5}<m\le 1$

Damit gilt insgesamt: $m\in ]0;\mathrm{0,5}[\cup ]\mathrm{0,5};1]$