Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Die Abbildung zeigt die Pyramide $A B C D S$ . Ihre Grundfläche $A B C D$ ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten

$A (0 | 0 | 0), B (2 | 2 | 0), C (0 | 6 | 0)$ und $D (- 2 | 2 | 0)$ . Der Punkt $S (0 | 0 | 6)$ ist die Spitze der

Pyramide.

Berechnen Sie die kleinste Kantenlänge sowie das Volumen der Pyramide $A B C D S$ .
(4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne die kleinste Kantenlänge der Pyramide $A B C D S$
Die kleinste Kantenlänge kann nur eine der kurzen Seiten des Drachenvierecks haben.
Berechne z.B. den Vektor $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ .
Dann ist $| \vec{A B} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 0^{2}} = \sqrt{8}$ .
Die kleinste Kantenlänge der Pyramide $A B C D S$ beträgt $\sqrt{8} LE$ .
Berechne das Volumen der Pyramide $A B C D S$
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck $\Rightarrow G = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A C} | \cdot | \vec{B D} |$
$\vec{A C} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{A C} | = 6$
$\vec{B D} = \vec{O D} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{B D} | = 4$
$\Rightarrow G = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$
$h = | \vec{A S} | = 6$
$\Rightarrow V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 6 = 24$
Das Volumen der Pyramide $A B C D S$ beträgt $24 VE$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Teil 1
Die kleinste Kantenlänge kann nur eine der kurzen Seiten des Drachenvierecks haben.
Berechne z.B. den Vektor $\vec{A B}$ .
Teil 2
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ mit $G = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A C} | \cdot | \vec{B D} |$ und $h = | \vec{A S} |$ .
Die Seitenfläche $B C S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Betrachtet werden die Vektoren $\vec{n}$ , deren Koordinaten nicht alle gleich null
sind. Begründen Sie, dass folgende Aussage richtig ist:
Gilt für einen solchen Vektor $\vec{n} \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = 0$ und $\vec{n} \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = 0$ , so ist er ein Normalenvektor von $E$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Begründe, dass folgende Aussage richtig ist: Gilt für einen solchen Vektor $\vec{n} \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = 0$ und $\vec{n} \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = 0$ , so ist er ein Normalenvektor von $E$
Berechne zunächst die Vektoren $\vec{B C} = \vec{O C} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{array}) = 2 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ und
$\vec{B S} = \vec{O S} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 6 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 2 \\ 6 \end{array}) = 2 \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Dann gilt für die Ebene durch die Punkte $B, C, S$ :
$E_{B C S} : \vec{x} = \vec{O B} + r \cdot \vec{B C} + s \cdot \vec{B S} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$
Die Richtungsvektoren der Ebene $E$ sind also $(\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ und $(\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array})$ .
Ein Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren von $E$ , d.h. das Skalarprodukt zwischen $\vec{n}$ und jeweils einem Richtungsvektor muss gleich null sein. Damit ist die obige Aussage richtig.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Erstelle die Gleichung der Ebene $E_{B C S} : \vec{x} = \vec{O B} + r \cdot \vec{B C} + s \cdot \vec{B S}$ und vergleiche die Richtungsvektoren dieser Ebene mit den beiden Vektoren der angegebenen Skalarprodukte.
Begründe, warum das Skalarprodukt null ergeben muss.
Die Ebene $E$ hat die Gleichung $2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6$ . Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2} -$ Ebene einschließt. (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
Bestimme die Größe des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2} -$ Ebene einschließt
Die Ebene $E$ hat die Gleichung $2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6$ $\Rightarrow \vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{m} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ ist der Normalenvektor der $x_{1} x_{2} -$ Ebene.
Dann folgt:
$| \vec{n} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ und $| \vec{m} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1} = 1$
Für den Winkel gilt:
$\Rightarrow \cos φ = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐦} |} = \frac{| 0 + 0 + 1 |}{\sqrt{6} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
$φ = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{6}}) \approx {65,9}^{°}$
Die Größe des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2} -$ Ebene einschließt, beträgt rund ${65,9}^{°}$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Für den Winkel gilt: $\cos φ = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐦} |}$ .
Dabei ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ der Normalenvektor der Ebene $E$ und $\vec{m} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ ist der Normalenvektor der $x_{1} x_{2} -$ Ebene.
Gegeben ist die Schar der Ebenen $F_{k} : k \cdot x_{2} + (k - 2) \cdot x_{3} = 2 k$ mit $k \in] 0; 3 [$ .
Jede Ebene $F_{k}$ der Schar schneidet die Pyramide $A B C D S$ in einem Dreieck $B D Q_{k}$ , wobei der Punkt $Q_{k}$ auf der Strecke $[S C]$ liegt.
Geben Sie eine Gleichung der Ebene $F_{2}$ an und zeichnen Sie in die Abbildung die Schnittfigur von $F_{2}$ mit der Pyramide $A B C D S$ ein. (4 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
Gib eine Gleichung der Ebene $F_{2}$ an
Gegeben ist die Schar der Ebenen $F_{k} : k \cdot x_{2} + (k - 2) \cdot x_{3} = 2 k$ mit $k \in] 0; 3 [$ .
$F_{2} : 2 \cdot x_{2} + (2 - 2) \cdot x_{3} = 2 \cdot 2 \Rightarrow F_{2} : 2 \cdot x_{2} = 4 \Rightarrow F_{2} : x_{2} = 2$
Die Gleichung der Ebene $F_{2}$ lautet $F_{2} : x_{2} = 2$ .
Zeichne in die Abbildung die Schnittfigur von $F_{2}$ mit der Pyramide $A B C D S$ ein
Die Ebene $F_{2}$ verläuft parallel zur $x_{1} x_{3} -$ Ebene im Abstand $2$ . Zeichne im Punkt $(0 | 2 | 0)$ eine Senkrechte zur $x_{1} x_{2} -$ Ebene. Die Senkrechte schneidet die Strecke $[S C]$ im Punkt $Q_{2}$ . Verbinde die Punkte $B, D, Q_{2}$ .
Schnittfigur der Ebene $F_{2}$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Die Ebene $F_{2}$ verläuft parallel zur $x_{1} x_{3} -$ Ebene im Abstand $2$ .
Zeichne im Punkt $(0 | 2 | 0)$ eine Senkrechte zur $x_{1} x_{2} -$ Ebene.
Die Senkrechte schneidet die Strecke $[S C]$ im Punkt $Q_{2}$ .
Verbinde die Punkte $B, D, Q_{2}$ .
Es gibt einen Wert von $k$ , für den der Flächeninhalt des Dreiecks $B D Q_{k}$ minimal ist. Ermitteln Sie diesen Wert. (6 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand eines Punktes zu einer Geraden berechnen (Analytische Geometrie)
Ermittle diesen Wert
Die Grundseite des Dreiecks ist immer die Strecke $[B D]$ .
Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Strecke [BD] (siehe Abbildung bei Aufgabe d).
$\Rightarrow \vec{O M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{O B} + \vec{O D}) = \frac{1}{2} \cdot ((\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array})) = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})$
Im Punkt $M (0 | 2 | 0)$ beginnt Höhe des Dreiecks und endet im Punkt $Q_{k}$ auf der Strecke $[S C]$ .
Die Dreiecksfläche soll minimal sein, d.h. die Höhe des Dreiecks ist dann minimal, da die Grundseite jeweils gleich bleibt.
Gesucht ist also der Abstand des Punktes $M$ von der Geraden $g_{C S}$ .
$g_{C S} : \vec{x} = \vec{O C} + r \cdot \vec{C S} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 6 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ (mit einem Richtungsvektor, der um den Faktor $6$ verkürzt wurde.)
Man erstellt eine Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt $M (0 | 2 | 0)$ geht und orthogonal zum Richtungsvektor $(\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ der Geraden ist, d.h. ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$ .
$\Rightarrow$ $E : [\vec{x} - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) = 0$
Setze $g_{C S}$ in $E$ ein:
$[(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array})] \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) = 0 \Rightarrow [(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})] \circ (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) = 0$
Berechne das Skalarprodukt:
$- 4 + r \cdot (1 + 1) = 0 \Rightarrow r = \frac{4}{2} = 2$
Setze nun $r$ in die Geradengleichung $g_{C S}$ ein, um den Schnittpunkt $Q_{k}$ zu bestimmen.
$\vec{O Q_{k}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array}) \Rightarrow Q_{k} (0 | 4 | 2)$
Der Punkt $Q_{k}$ muss auf $F_{k}$ liegen:
$F_{k} : k \cdot x_{2} + (k - 2) \cdot x_{3} = 2 k$
Setze $(0 | 4 | 2)$ ein:
$\Rightarrow k \cdot 4 + (k - 2) \cdot 2 = 2 k \Rightarrow 4 k + 2 k - 4 = 2 k \Rightarrow k = 1$
Für $k = 1$ ist der Flächeninhalt des Dreiecks $B D Q_{k}$ minimal.
Die folgenden Abbildungen sind nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dienen nur zur Veranschaulichung.
Dreieck $B D Q_{1}$ mit minimalem Flächeninhalt
Ergänzung:
Eingezeichnet sind die Punkte $E, F, G, H$ und $Q_{1}$ auf der Geraden $g_{C S}$ .
Der Punkt $Q_{1}$ hat den kürzesten Abstand zum Punkt $M$ (in der Mitte zwischen $B$ und $D$ ). (Die Lotgerade $g_{Q_{1} M}$ steht senkrecht auf $g_{C S}$ .)
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Die Grundseite des Dreiecks ist immer die Strecke $[B D]$ .
Im Punkt $M (0 | 2 | 0)$ beginnt Höhe des Dreiecks und endet im Punkt $Q_{k}$ auf der Strecke $[S C]$ .
Gesucht ist der minimale Abstand des Punktes $M$ von der Geraden $g_{C S}$ und damit die Koordinaten des Punktes $Q_{k}$ .
Der Punkt $Q_{k}$ muss auf $F_{k}$ liegen $\Rightarrow k$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Berechne die kleinste Kantenlänge der Pyramide ABCDS

Berechne das Volumen der Pyramide ABCDS

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründe, dass folgende Aussage richtig ist: Gilt für einen solchen Vektor n→∘(−120)=0 und n→∘(−1−13)=0, so ist er ein Normalenvektor von E

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme die Größe des Winkels, den E mit der x1x2− Ebene einschließt

Hast du eine Frage oder Feedback?

Gib eine Gleichung der Ebene F2 an

Zeichne in die Abbildung die Schnittfigur von F2 mit der Pyramide ABCDS ein

Hast du eine Frage oder Feedback?

Ermittle diesen Wert

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die kleinste Kantenlänge der Pyramide $A B C D S$

Berechne das Volumen der Pyramide $A B C D S$

Begründe, dass folgende Aussage richtig ist: Gilt für einen solchen Vektor $\vec{n} \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = 0$ und $\vec{n} \circ (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) = 0$ , so ist er ein Normalenvektor von $E$

Bestimme die Größe des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2} -$ Ebene einschließt

Gib eine Gleichung der Ebene $F_{2}$ an

Zeichne in die Abbildung die Schnittfigur von $F_{2}$ mit der Pyramide $A B C D S$ ein