Bestimme die maximale Höhe, die ein solches $2\text{ m}$ breites Fenster haben kann

Berechne $f(1)$:

$f(1)=\mathrm{0,625}$

Die maximale Höhe, die ein solches $2\text{ m}$ breites Fenster haben kann, beträgt $\mathrm{0,625}\text{ m}$.

Untersuche, ob die Vorgabe bei der betrachteten Fledermausgaube eingehalten wird

Berechnung der Höhe $f(0)$:

$f(0)=\mathrm{0,9}$

Die Höhe beträgt $\mathrm{0,9}\text{ m}$.

Berechnung der Breite, ermittle dazu die Nullstellen:

$f(x)=0\Rightarrow x=-\sqrt{6}\vee x=\sqrt{6}$ .

Die Breite der Gaube ist dann $2\cdot \sqrt{6}\text{ m}$.

Das Verhältnis von Breite zu Höhe ist $2\cdot \sqrt{6}:\mathrm{0,9}\approx \mathrm{5,4}:1$.

Das Verhältnis von Breite zu Höhe soll bei Fledermausgauben zwischen $5:1$ und $8:1$ liegen. Die Vorgabe wird mit $\mathrm{5,4}:1$ eingehalten.

Weise nach, dass dies bei der betrachteten Fledermausgaube erfüllt ist

Die maximale Steigung liegt im Wendepunkt vor.

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

Der Rechner liefert die beiden Lösungen $x=-\sqrt{2}\vee x=\sqrt{2}$.

Da $G_f$ symmetrisch zur y-Achse ist (nur gerade Exponenten) ist der Betrag der Steigung in beiden Wendestellen identisch.

Für die Steigung in den beiden Wendepunkten liefert der Rechner die Lösungen $f^{\prime }(-\sqrt{2})={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5}}$ und $f^{\prime }(\sqrt{2})=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5}}$.

Dann gilt für den Winkel: $\tan \alpha =|f^{\prime }(-\sqrt{2})|\Rightarrow \alpha ={\tan }^{-1}\left({\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{5}}\right)\approx \mathrm{29,5}°$.

Gegeben: Aus ästhetischen Gründen soll die maximale Steigung der Profillinie einer Fledermausgaube maximal $30°$ betragen. Dies ist mit $\mathrm{29,5}°$ bei der betrachteten Fledermausgaube erfüllt.

Berechne den Flächeninhalt der beiden Fensterscheiben

Oberer Fensterrand: $o(x)=f(x)-\mathrm{0,1}$.

Unterer Fensterrand: $u(x)=\mathrm{0,1}$.

Bestimme die Schnittpunkte von $o(x)$ und $u(x)$:

$o(x)$ = $u(x)$\$;\Rightarrow f(x)-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,1}\Rightarrow f(x)=\mathrm{0,2}$

Der GTR-Rechner liefert für $x\in [-\mathrm{2,45};\mathrm{2,45}]$ die beiden Lösungen $x_1\approx -\mathrm{1,78}$ und $x_2\approx \mathrm{1,78}$.

Wegen der in Aufgabe c) angegebenen Symmetrie und dem $10\text{ cm}=\mathrm{0,1}\text{ m}$ breiten Steg zwischen den beiden Fensterscheiben, kann die Fensterfläche folgendermaßen berechnet werden:

$$2\cdot {\displaystyle {\int }_{\mathrm{0,05}}^{x_2}(o(x)-u(x))\mathrm{d}x\approx \mathrm{1,47}}$$

Der Flächeninhalt der beiden Fensterscheiben beträgt rund $\mathrm{1,47}{\text{ m}}^2$.

Begründe, dass das Fenster nicht über die gesamte Breite des unteren Randes der Fledermausgaube verlaufen kann

Bekannt: Die $𝑥$-Achse stellt zwischen den Nullstellen ${𝑛}_1$ und ${𝑛}_2$ von $𝑓$ den unteren Rand der Fledermausgaube dar.

Verbindet man den $HP(0|\mathrm{0,9})$ mit einer Nullstelle $N(\mathrm{2,45}|0)$ mit einer Geraden, so verläuft diese sowohl ober- als auch unterhalb der Graphen von $f$, d.h. die Gerade kann keine Seite eines dreieckigen Fensters sein.

$HP$ muss auf der gesuchten Geraden liegen und die Gerade muss im Bereich zwischen $HP$ und $N$ Tangente im Punkt $P(u|𝑓(u))$ an den Graphen von $f$ sein.

Tangentengleichung: $t(x)=mx+b$ mit $m=f^{\prime }(u)$

$f^{\prime }(x)=\mathrm{0,1}{x}^3-\mathrm{0,6}x\Rightarrow f^{\prime }(u)=\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u$

$\Rightarrow t(x)=(\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u)x+b$

Setze $HP(0|\mathrm{0,9})$ in $t(x)$ ein:

$\mathrm{0,9}=(\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u)\cdot 0+b\Rightarrow b=\mathrm{0,9}\Rightarrow t(x)=(\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u)x+\mathrm{0,9}$

Der Punkt $P(u|𝑓(u))$ liegt sowohl auf $f$ und auf $t$ $\Rightarrow f(u)=t(u)$

$t(u)=(\mathrm{0,1}{u}^3-\mathrm{0,6}u)\cdot u+\mathrm{0,9}=\mathrm{0,1}{u}^4-\mathrm{0,6}{u}^2+\mathrm{0,9}$

Die Schnittpunkte der beiden Graphen $G_f$ und $G_t$ sind $u_1=-2,u_2=0$ und $u_3=2$. Nur $u_3$ liegt im geforderten Bereich.

Einsetzen von $u_3=2$ in $t(x)$ liefert:

$t(x)=(\mathrm{0,1}\cdot 2^3-\mathrm{0,6}\cdot 2)x+\mathrm{0,9}=(\mathrm{0,8}-\mathrm{1,2})x+\mathrm{0,9}=-\mathrm{0,4}x+\mathrm{0,9}$

Die Nullstelle von $t$ ist ${\displaystyle \frac{9}{4}}=\mathrm{2,25}$. Die Basis des Dreiecks ist dann $2\cdot \mathrm{2,25}=\mathrm{4,5}\text{ m}$.

Dann erhält man für den maximalen Flächeninhalt in ${\text{ m}}^2$:

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{4,5}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{2,025}$

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Erläutere die Schritte der Berechnung und gib die Bedeutung von $𝑑({𝑥}_2)$ im Sachkontext an

$\mathrm{I}.$ Die Differenzfunktion $d$ der Funktionen $𝑓$ und $𝑔$ wird gebildet.

$\mathrm{II}.$ Die möglichen Extremstellen der Differenzfunktion im Bereich ${𝑛}_1\le 𝑥\le 0$ werden berechnet.

$\mathrm{III}.$ Die möglichen Extremstellen werden überprüft.

$\mathrm{IV}.$ Die Funktionswerte der Differenzfunktion an den Rändern des Definitionsbereiches und an der Stelle ${𝑥}_2$ werden berechnet.

An der Stelle ${𝑥}_2$ haben die durch $𝑓$ und $𝑔$ beschriebenen oberen Profillinien die maximale vertikale Entfernung von etwa $\mathrm{0,06}\text{ m}$.