$1{\text{ dm}}^2$ besteht aus $850$ Zellen.

Eine Zelle kann mit bis zu $\mathrm{0,42}$ g Honig gefüllt sein.

$\Rightarrow$$3{\text{ dm}}^2$ bestehen aus $2550$ Zellen.

$2550\cdot \mathrm{0,42}=1071$

$1071g=\mathrm{1,071}kg$ $>1kg$

$3{\text{ dm}}^2$ können also ausreichen, um 1 Kilo Honig zu erhalten.

Der Winkel in der Mitte ist jeweils genau $360°:6=60°$ groß, da das Sechseck regelmäßig ist.

Die sechs Dreiecke müssen aus Symmetriegründen gleichschenklig sein.

Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist $180°$.

$\Rightarrow$ Die Summe der Basiswinkel ist $180°-60°=120$°.

$\Rightarrow$ Die beiden Basiswinkel sind ebenfalls $60°$.

In jedem der Dreiecke sind die drei Innenwinkel gleich groß.

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus 6 gleichschenkligen Dreiecken, siehe Abbildung 1.

$A_{Sechseck}=6\cdot A_{Dreieck}$

Dreiecksfläche: $${\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h}$$

$$A_{Dreieck}={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a}$$

$$A_{Sech\sec k}=6\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot h_a}\right)$$

Berechne $h_a$ mithilfe des Satzes von Pythagoras.

$$h_a={\displaystyle \sqrt{a^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a}$$

$$A_{Sechseck}=6\cdot {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a}$$

Bereits in den abgebildeten Waben mit einem und mit zwei Ringen erhöht sich die Anzahl der Zellen einmal um sechs und einmal um zwölf, also nicht gleichmäßig. Daher liegt kein lineares Wachstum vor.

Wabe mit 5 Ringen: $s_5=1+3\cdot 5+3\cdot 5^2=1+15+75=91$

Wabe mit 6 Ringen: $s_6=1+3\cdot 6+3\cdot 6^2=1+18+108=127$

$127-91=36$

Eine Wabe mit 6 Ringen hat 36 Zellen mehr, als eine Wabe mit 5 Ringen.

Verwende die Formel aus Teilaufgabe e): $s_n=1+3\cdot n+3\cdot n^2$

$s_{n+1}-s_n=1+3(n+1)+3(n+1{)}^2-(1+3n+3n^2)$

$s_{n+1}-s_n=1+3n+3+3n^2+6n+3-1-3n-3n^2$

$s_{n+1}-s_n=6+6n$