Prüfungsteil 2 2025

$$V_{Kugel}={\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot r^3}$$

$$V_{Kugel}={\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{3}}\cdot \pi \cdot {\mathrm{8,9}}^3=\mathrm{2952,9...}}$$

Das Volumen der Kugel beträgt ungefähr $2950{\text{ cm}}^3$.

Der horizontale Umfang und damit der Durchmesser ist kleiner als der vertikale Umfang, also die Höhe des Ballons.

Deswegen ist das Volumen des Ballons größer als das einer Kugel mit dem Durchmesser aus der horizontalen Messung.

$V_{Zylinder}=G\cdot h$

$${\displaystyle h={\displaystyle \frac{V}{G}}}$$

Volumeneinheiten: $1\text{ l}=1000{\text{ cm}}^3$

Volumen des Wassers: $8\text{ l}=8000{\text{ cm}}^3$

Grundfläche des Zylinders: $G=530{\text{ cm}}^3$

$${\displaystyle h={\displaystyle \frac{8000}{530}}=\mathrm{15,09....}\approx \mathrm{15,1}}$$

Das Wasser steht im Glaszylinder ca. $\mathrm{15,1}\text{ cm}$ hoch.

Berechne den Zuwachs des Volumens, der durch die Verdängung der Wassermenge entsteht.

$V=G\cdot h$

$V=530\cdot \mathrm{5,7}=3021$

Der Luftballon hat ein Volumen von etwa $3020{\text{ cm}}^3$.

p: Prozentsatz

W: Prozentwert

G: Grundwert

$${\displaystyle p={\displaystyle \frac{W}{G}}}$$

$${\displaystyle p={\displaystyle \frac{2590}{3020}}=\mathrm{0,9768...}\approx \mathrm{0,977}}$$

$100\%-\mathrm{97,7}\%=\mathrm{2,3}\%$

Die Näherung über die Kugel ist um $\mathrm{2,3}\%$ kleiner als die Messung des Volumens durch das Eintauchen des Ballons ins Wasser.

Wenn man einen Karton mit Luftballons füllt, bleiben zwischen den einzelnen Ballons immer Zwischenräume frei. Teilt man den Rauminhalt des Kartons durch das Volumen eines Ballons, erhält man eine größere Anzahl Ballons.

$1{\text{ dm}}^2$ besteht aus $850$ Zellen.

Eine Zelle kann mit bis zu $\mathrm{0,42}$ g Honig gefüllt sein.

$\Rightarrow$$3{\text{ dm}}^2$ bestehen aus $2550$ Zellen.

$2550\cdot \mathrm{0,42}=1071$

$1071g=\mathrm{1,071}kg$ $>1kg$

$3{\text{ dm}}^2$ können also ausreichen, um 1 Kilo Honig zu erhalten.

Der Winkel in der Mitte ist jeweils genau $360°:6=60°$ groß, da das Sechseck regelmäßig ist.

Die sechs Dreiecke müssen aus Symmetriegründen gleichschenklig sein.

Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist $180°$.

$\Rightarrow$ Die Summe der Basiswinkel ist $180°-60°=120$°.

$\Rightarrow$ Die beiden Basiswinkel sind ebenfalls $60°$.

In jedem der Dreiecke sind die drei Innenwinkel gleich groß.

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus 6 gleichschenkligen Dreiecken, siehe Abbildung 1.

$A_{Sechseck}=6\cdot A_{Dreieck}$

Dreiecksfläche: $${\displaystyle A_{Dreieck}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h}$$

$$A_{Dreieck}={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a}$$

$$A_{Sech\sec k}=6\cdot \left({\displaystyle \frac{1}{2}\cdot g\cdot h_a}\right)$$

Berechne $h_a$ mithilfe des Satzes von Pythagoras.

$$h_a={\displaystyle \sqrt{a^2-{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a}$$

$$A_{Sechseck}=6\cdot {\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}a}$$

Bereits in den abgebildeten Waben mit einem und mit zwei Ringen erhöht sich die Anzahl der Zellen einmal um sechs und einmal um zwölf, also nicht gleichmäßig. Daher liegt kein lineares Wachstum vor.

Wabe mit 5 Ringen: $s_5=1+3\cdot 5+3\cdot 5^2=1+15+75=91$

Wabe mit 6 Ringen: $s_6=1+3\cdot 6+3\cdot 6^2=1+18+108=127$

$127-91=36$

Eine Wabe mit 6 Ringen hat 36 Zellen mehr, als eine Wabe mit 5 Ringen.

Verwende die Formel aus Teilaufgabe e): $s_n=1+3\cdot n+3\cdot n^2$

$s_{n+1}-s_n=1+3(n+1)+3(n+1{)}^2-(1+3n+3n^2)$

$s_{n+1}-s_n=1+3n+3+3n^2+6n+3-1-3n-3n^2$

$s_{n+1}-s_n=6+6n$

$${\displaystyle A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h}$$

$$A={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 6\cdot \mathrm{4,5}=\mathrm{13,5}}$$

Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $\mathrm{13,5}{\text{ cm}}^2$.

Umfang des Dreiecks: $U=$ $\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{AC}\overline{}$

$\overline{AC}=\overline{BC}$

Länge der Strecke $\overline{AB}$: $|AB|=6\text{ cm}$

Länge der Strecke $\overline{AC}$:

Verwende für die Berechnung den Satz des Pythagoras.

$|AC|=\sqrt{3^2+{\mathrm{4,5}}^2}=\mathrm{5,408...}$

Länge der Strecke $\overline{AC}$: $|AC|=\mathrm{5,408...}\text{ cm}$

$U=|AB|+2\cdot |AC|$

$U=6+2\cdot \mathrm{5,408...}=\mathrm{16,816...}\approx \mathrm{16,8}$

Das Dreieck hat einen Umfang von rund $\mathrm{16,8}\text{ cm}$.

Das Dreieck mit den Punkten $A$, dem Ursprung $(0|0)$ und $C$ ist rechtwinklig.

Es gilt:

$$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$$

$$\tan (\alpha )={\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}}{3}=\mathrm{1,5}}$$

$\alpha \approx \mathrm{56,3}°$

In der Zeichnung kannst du erkennen, dass die Parabel bei $x=3$ und $x=-3$ eine Nullstelle hat.

Überprüfe die Funktionsgleichung für x = 3 und x = −3.

$f(3)=a\cdot (3+3)\cdot (3-3)=a\cdot 6\cdot 0=0$

$f(-3)=a\cdot (-3+3)\cdot (-3-3)=a\cdot 0\cdot (-6)=0$

Die dargestellte Parabel ist nach unten geöffnet, daher ist $a<0$.

Lies die Koordinaten des Punktes $C$ aus der Zeichnung ab: $C(0|\mathrm{4,5})$

$\Rightarrow$ $f(0)=\mathrm{4,5}$

Für die Funktionsgleichung ergibt sich:

$\mathrm{4,5}=a\cdot (0+3)\cdot (0-3)$

$\mathrm{4,5}=a\cdot 3\cdot (-3)$

$\mathrm{4,5}=a\cdot (-9)$

$$a={\displaystyle \frac{\mathrm{4,5}}{-9}=-\frac{1}{2}}$$

$$a={\displaystyle -\frac{1}{2}}$$

(1) Eine Möglichkeit besteht darin, die Punkte A und B entlang der x-Achse nach außen zu verschieben, sodass ein gleichschenkliges Dreieck entsteht mit den Basiswinkeln von jeweils 45°. Dadurch wird der Winkel bei C genau 90° groß.

Da in diesem Fall die Höhe des Dreiecks jeweils dem Abstand der Punkte A und B von der y-Achse entsprechen, ergeben sich die Koordinaten A (–4,5 | 0) und

B (4,5 | 0) als Nullstellen der Parabel.

(2) Über den Ansatz

$g(x)=a\cdot (x+\mathrm{4,5})\cdot (x-\mathrm{4,5})$ siehe Teilaufgabe d)

$g(0)=\mathrm{4,5}$ Scheitelpunkt der Parabel

=> $\mathrm{4,5}=a\cdot \mathrm{4,5}\cdot (-\mathrm{4,5})$

$$a={\displaystyle -\frac{1}{\mathrm{4,5}}}$$

=> $$g(x)={\displaystyle -\frac{1}{\mathrm{4,5}}\cdot (x+\mathrm{4,5})\cdot (x-\mathrm{4,5})}$$