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Aufgabe II 1

Die Abbildung zeigt die Pyramide $A B C D S$ . Ihre Grundfläche $A B C D$ ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten

$A (0 | 0 | 0), B (2 | 2 | 0), C (0 | 6 | 0)$ und $D (- 2 | 2 | 0)$ . Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $S (0 | 0 | 6)$ .

Berechnen Sie die Länge der kürzesten und die Länge der längsten der acht Kanten sowie das Volumen der Pyramide $A B C D S$ . [5 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pyramide
Berechne die kleinste Kantenlänge der Pyramide $A B C D S$
Die kleinste Kantenlänge kann nur eine der kurzen Seiten des Drachenvierecks haben.
Berechne z.B. den Vektor $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array})$ .
Dann ist $| \vec{A B} | = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 0^{2}} = \sqrt{8}$ .
Die kleinste Kantenlänge der Pyramide $A B C D S$ beträgt $\sqrt{8} LE$ .
Berechne das Volumen der Pyramide $A B C D S$
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$
Die Grundfläche der Pyramide ist ein Drachenviereck $\Rightarrow G = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A C} | \cdot | \vec{B D} |$
$\vec{A C} = (\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{A C} | = 6$
$\vec{B D} = \vec{O D} - \vec{O B} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \Rightarrow | \vec{B D} | = 4$
$\Rightarrow G = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$
$h = | \vec{A S} | = 6$
$\Rightarrow V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 6 = 24$
Das Volumen der Pyramide $A B C D S$ beträgt $24 VE$ .
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Teil 1
Die kleinste Kantenlänge kann nur eine der kurzen Seiten des Drachenvierecks haben.
Berechne z.B. den Vektor $\vec{A B}$ .
Teil 2
$V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ mit $G = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A C} | \cdot | \vec{B D} |$ und $h = | \vec{A S} |$ .
Die Seitenfläche $B C S$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ .
Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: $2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6$ ) [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
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Erstelle die Gleichung der Ebene $E_{B C S} : \vec{x} = \vec{O B} + r \cdot \vec{B C} + s \cdot \vec{B S}$
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2} -$ Ebene einschließt. [3 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
Bestimme die Größe des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2} -$ Ebene einschließt
Die Ebene $E$ hat die Gleichung $2 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6$ $\Rightarrow \vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{m} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ ist der Normalenvektor der $x_{1} x_{2} -$ Ebene.
Dann folgt:
$| \vec{n} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ und $| \vec{m} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{1} = 1$
Für den Winkel gilt:
$\Rightarrow \cos φ = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐦} |} = \frac{| 0 + 0 + 1 |}{\sqrt{6} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
$φ = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{6}}) \approx {65,9}^{°}$
Die Größe des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2} -$ Ebene einschließt, beträgt rund ${65,9}^{°}$ .
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Für den Winkel gilt: $\cos φ = \frac{| \vec{𝐧} \circ \vec{𝐦} |}{| \vec{𝐧} | \cdot | \vec{𝐦} |}$ .
Dabei ist $\vec{n} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$ der Normalenvektor der Ebene $E$ und $\vec{m} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ ist der Normalenvektor der $x_{1} x_{2} -$ Ebene.
Der Punkt B wird nun so parallel zur $x_{2}$ -Achse verschoben, dass für den dadurch entstehenden Punkt $B^{'}$ gilt: Das Viereck $A B^{'} C D$ hat in $B^{'}$ einen rechten Innenwinkel. Um die Koordinaten von $B^{'}$ zu bestimmen, kann folgender Ansatz verwendet werden:
$(\begin{array}{c} 2 \\ b \\ 0 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ b - 6 \\ 0 \end{array}) = 0$
Erläutern Sie diesen Ansatz. [3 BE]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene
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Aufgabe II 1

Berechne die kleinste Kantenlänge der Pyramide ABCDS

Berechne das Volumen der Pyramide ABCDS

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Bestimme die Größe des Winkels, den E mit der x1x2− Ebene einschließt

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Berechne die kleinste Kantenlänge der Pyramide $A B C D S$

Berechne das Volumen der Pyramide $A B C D S$

Bestimme die Größe des Winkels, den $E$ mit der $x_{1} x_{2} -$ Ebene einschließt