Skalarmultiplikation

Man kann Vektoren nicht nur addieren und subtrahieren, sondern auch strecken oder stauchen, d.h. "länger oder kürzer machen". Dies versteht man unter einer Skalarmultiplikation, also der Multiplikation von einem Vektor und einer beliebigen reellen Zahl.

Mathematisch schreibt man das folgendermaßen:

%%\vec w = k \cdot \vec v \ \\%%, wobei %%\ k \in \mathbb{R}\,%%.

Die Richtung des Vektors verändert sich bis auf das Vorzeichen dabei nicht.

Beispiel

Du hast den Vektor %%\vec v = \begin{pmatrix}2\\-3 \end{pmatrix}%% gegeben und möchstest ihn um %%7%% strecken, also:

%%\vec w = k \cdot \vec v = 7 \cdot \begin{pmatrix}2\\-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \cdot 2\\ 7 \cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -21 \end{pmatrix}%%

Der gestreckte Vektor ist nun also %%\vec w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14\\-21\end{pmatrix}%%.


%%\,%%

Nun kann man andersrum aber auch nachrechnen, ob ein Vektor %%\vec w%% aus %%\vec v%% hervorgeht. D.h., wenn man den Vektor %%\vec v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}%% gegeben hat und der Vektor %%\vec w = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}%% aus der Multiplikation von %%k%% mit %%v%% hervorgeht. Dazu untersucht man, ob der Vektor %%\vec w%% aus der Multiplikation von %%k%% und %%\vec v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\end{pmatrix}%% hervorgeht:

%%\begin{pmatrix}k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}%%

%%\Longleftrightarrow%%

%%k \cdot v_1 = w_1%%

%%k \cdot v_2 = w_2%%

Dann muss man für sowohl für die %%x%%- als auch für die %%y%%-Komponente den Wert für %%k%% nachrechnen:

$$k = \frac{w_1}{v_1}$$ $$k = \frac{w_2}{v_2}$$

Wenn man für beide Gleichungen denselben Wert für %%k%% bekommt, so geht %%\vec w%% aus %%\vec v%% hervor.

Falls man jedoch unterschiedliche Werte ausrechnet, so geht keiner der beiden Vektoren aus dem anderen hervor.

Beispiel

Prüfe nach, ob sich der Vektor %%\vec w = \begin{pmatrix}-12\\16\end{pmatrix}%% durch Streckung des Vektors %%\vec v = \begin{pmatrix} 3\\-4\end{pmatrix}%% darstellen lässt.

Du musst also untersuchen, ob sich %%\vec w%% als %%k \cdot \vec v\,%% schreiben lässt.

%%\vec w = k \cdot \vec v\,\,%% %%\Longleftrightarrow%% %%\begin{pmatrix}-12\\16\end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}%%

Du musst nun also den Wert von %%k%% sowohl für die %%x%%-als auch für die %%y%%-Koordinate bestimmen

Für die %%x%%-Komponente gilt:

%%-12 = 3k\,\,\Longleftrightarrow k = -4%%

Für die %%y%%-Komponente gilt:

%%16 = -4k\,\,\Longleftrightarrow k = -4%%

%%\,%%

Für beide Komponenten bekommst du also das gleiche Ergebnis heraus.

Damit lässt sich der Vektor %%\vec w%% durch Streckung von %%\vec v%% mit dem Faktor %%-4%% erzeugen!


Unten kannst du in dem Applet sehen, wie sich die Darstellung von Vektoren im Koordinatensystem ändert, wenn man die Vektoren streckt oder staucht.

Bewege den blauen Punkt an der Spitze des Vektors %%\vec{v}%%, um verschiedene Vektoren %%\vec{v}%% zu betrachten. Verschiebe den roten Punkt k auf dem Schieberegler um den Vektor %%\vec{v}%% um den Faktor k zu strecken oder zu stauchen. Der rote Vektor %%\vec{w}%% stellt dann den gestreckten bzw. gestauchten Vektor %%\vec{w}=k\cdot\vec{v}%%.

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