81. Termumformungen

Termumformungen sind generell gut, wenn wir die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion suchen, die die Summe einer Potenzfunktion und einer Zahl ist.

Beispiele für Vorschriften solcher Funktionen sind:

• $f(x) = x^2 - 9$

• $g(x) = x^3 +1$

• $h(x) = x^4 -16$

Berechnen wir doch mal die Nullstellen der ersten Funktion $f$. Richtig erkannt, $f$ ist ja eine quadratische Funktion. Sogar eine "recht einfache", denn im Allgemeinen taucht bei einer quadratischen Funktion auch ein $x$-Term auf, was bei unserem $f$ nicht der Fall ist.

Ihre Nullstellen mit der quadratischen Lösungsformel (oder der pq-Formel) zu suchen wäre also sowas wie mit Kanonen auf Enten zu schießen. Außerdem geht es wesentlich schneller.

Fangen wir doch mal einfach an, indem wir den Term $x^2-9$ gleich null setzen.

Wir haben also nur zwei Umformungen gebraucht, um die Nullstellen von $f$ zu finden. Außerdem können wir an diesem Beispiel genau sehen, wann so eine quadratische Funktion keine Nullstellen hat.

Wir hätten in der dritten Zeile nicht die (zweite) Wurzel ziehen können, wenn auf der rechten Seite eine negative Zahl gestanden hätte.

Generell muss man beim Ziehen gerader Wurzeln (also zweite, vierte, sechste…) vorsichtig sein. Überprüfe immer vor dem Wurzelziehen, ob unter der Wurzel eine positive oder eine negative Zahl stehen wird! Ungerade Wurzeln kann man immer ziehen. Sie haben alle genau eine reelle Lösung.