2. Ausklammern von Faktoren (1|2)

Schaue dir die folgenden Funktionsterme kurz an.

%%f(x)=\frac{1}{4}x^3 + 2x^4 - 5x^5%%

%%g(x)=(x-1)((x+1)^2-1)+ x-1%%

Auf den ersten Blick scheinen sie sehr kompliziert zu sein. Lass dich nicht abschrecken, denn jetzt lernst du, wie du sie in eine schönere Form bringen kannst!

Werfen wir zuerst einen Blick auf %%f%%.


%%f(x)= \frac{1}{4}x^3 + 2x^4 - 5x^5%%

Es fällt doch auf, dass alle Summanden %%x%%-Terme sind. Es gibt also kein konstantes Glied.
Da %%x^3%% die kleinste Potenz von %%x%% ist, die in der Funktionsvorschrift von %%f%% vorkommt, können wir %%x^3%% ausklammern.

%%f(x)= x^3·(\frac{1}{4} + 2x - 5x^2)%%

Schon sieht %%f%% viel besser aus. An dem Faktor %%x^3%% können wir sofort eine Nullstelle bei %%x = 0%% ablesen.

Der Faktor in der Klammer ist die Vorschrift einer quadratischen Funktion. Für solche Funktionen kennen wir die quadratische Lösungsformel, um ihre Nullstellen zu finden.


Indem wir ausklammern, lässt sich %%f%% also als das Produkt von zwei einfacheren Funktionen schreiben.
Von diesen können wir die Nullstellen gut berechnen (oder sogar ablesen).

Wir können somit alle Nullstellen von %%f%% wissen. Denn damit ein Produkt Null wird, muss mindestens einer der Faktoren auch gleich Null sein.

Der Faktor %%x^3%% hat eine Nullstelle bei %%x=0%%. Also hat auch %%f%% bei %%x=0%% eine Nullstelle.
Der Faktor %%\left(\frac{1}{4} + 2x - 5x^2\right)%% ist ein quadratischer Term. Seine Nullstellen können wir mit der quadratischen Lösungsformel berechnen. Sie sind %%x_1 = -\frac{1}{10}%% und %%x_2 = \frac{1}{2}.%%

Damit lauten alle Nullstellen von %%f%%: %%\ x_1 = -\frac{1}{10},\ x_2 = \frac{1}{2}%% und %%x_3 = 0%%.

Bei %%x_3%% handelt es sich um eine sogenannte dreifache Nullstelle. In einem weiteren Kurs erfahren wir, was das genau bedeutet.

Was haben wir auf dieser Kursseite gelernt?
Taucht im Funktionsterm kein konstantes Glied auf, so können wir die kleinste Potenz von %%x%% ausklammern.

Fragst du dich, ob du sowas auch für die Funktion %%g%% machen kannst?
Dann gehe auf die nächste Kursseite und finde es heraus!

Kommentieren Kommentare