Beispiel: Ebene aufstellen mit einem Punkt und einer Gerade

Stelle die Gleichung für die Ebene %%E%% auf, die durch den Punkt %%P(1|4|2)%% und die Gerade $$g:\vec{X}=\pmatrix{2\\0\\1}+\lambda\cdot\pmatrix{1\\2\\1}$$ läuft. Den Aufpunkt der Geraden %%g%% kannst du bereits als den Aufpunkt der Ebene nehmen. Auch den Richtungsvektor $$\pmatrix{1\\2\\1}$$ der Geraden %%g%% kannst du bereits direkt als Spannvektor der Ebene verwenden. Um eine zweite Richtung zu erhalten, stellst du den Verbindungsvektor zwischen dem Punkt %%P%% und dem Aufpunkt der Gerade auf. Dem Verbindungsvektor kannst du eine Variable deiner Wahl zuordnen, hier im folgendem heißt er %%\vec{u}%%: $$\vec{u}=\pmatrix{2\\0\\1}-\pmatrix{1\\4\\2}=\pmatrix{1\\-4\\-1}$$

Nun hast du deine zwei Richtungen und kannst die Ebenegleichung für %%E%% aufstellen:

$$E:\vec{X}=\pmatrix{2\\0\\1}+\lambda\cdot\pmatrix{1\\2\\1}+\mu\cdot\pmatrix{1\\-4\\-1}$$

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Müsste für die Berechnung vom Vektor "u" nicht der Aufpunkt der Ebene (2,0,1) vom Punkt (1,4,2) subtrahiert werden, also genau andersherum, wie hier gezeigt?
Rebi 2018-01-08 14:16:19+0100
Hallo TheThie9o,
beide Möglichkeiten (deine und die vorgeschlagene) sind richtig. Es ändert sich dadurch nur das Vorzeichen von u oder bildlich "die Pfeilspitze sitzt am anderen Ende der Strecke", dadurch wird aber immer noch die gleiche Ebene gebildet, weil u immer noch die gleiche "Ausrichtung" hat. Kannst du es dir jetzt vorstellen? Falls nicht darfst du gerne nochmal nachfragen. Und/Oder du probierst mal aus, die Situation mit Finelinern nachzustellen, dadurch kann man es sich manchmal besser vorstellen.
LG Rebi
TheThie9o 2018-01-09 11:02:13+0100
Danke für die schnelle Antwort! Ich habe es jetzt verstanden :)
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