Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

…

Vereinfache jeweils so weit wie möglich.

$\left(1-\sqrt3\right)\cdot\left(1+\sqrt3\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \left(1-\sqrt{3}\right)\cdot\left(1+\sqrt{3}\right)$
	↓ Binomische Formel anwenden
$=$	$\displaystyle \left(1^2-\sqrt{3}^2\right)$
	↓ Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
$=$	$\displaystyle \left(1-3\right)$
$=$	$\displaystyle -2$

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\left(\sqrt2-3\sqrt2\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)^2$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\displaystyle \left(-2\sqrt{2}\right)^2$
$=$	$\displaystyle \left(-2\right)^2\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2$
	↓ Beide Teile getrennt quadrieren
$=$	$\displaystyle 4\cdot2$
$=$	$\displaystyle 8$

$\sqrt3\cdot\left(\frac16\sqrt{12}-3\sqrt{\frac1{27}}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{27}}\right)$
	↓ $\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{36}\cdot12}-\sqrt{9\cdot\frac{1}{27}}\right)$
	↓ In den Wurzeln multiplizieren
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot0$
$=$	$\displaystyle 0$

$\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}$
	↓ Division in Bruchschreibweise umwandeln
$=$	$\displaystyle \frac{\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right)}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche einzeln schreiben
$=$	$\displaystyle \frac{2\sqrt{108}}{\sqrt{27}}-\frac{7\sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
	↓ Den 1. Bruch teilweise radizieren.
$=$	$\displaystyle \frac{4\sqrt{27}}{\sqrt{27}}-\frac{7\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche kürzen.
$=$	$\displaystyle 4-7\sqrt{2}$

$\left(\sqrt2-\sqrt{18}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2$
	↓	2. Binomische Formel anwenden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}+\sqrt{18}^2$
	$=$	$\displaystyle 2-12+18$
	$=$	$\displaystyle 8$

	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2$
	↓ teilweise Wurzelziehen
$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)^2$
	↓ zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \left(-2\sqrt{2}\right)^2$
$=$	$\displaystyle (-2)^2\cdot(\sqrt{2})^2$
$=$	$\displaystyle 4\cdot2$
$=$	$\displaystyle 8$

$\left(2\sqrt7-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle \left(2\sqrt{7}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot7}$
$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{28}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren.
$=$	$\displaystyle \sqrt{28}-28-3+3\sqrt{28}$
	↓ Vereinfachen
$=$	$\displaystyle \sqrt{28}-31+3\sqrt{28}$
$=$	$\displaystyle 4\sqrt{28}-31$

Alternativ kannst du auch zunächst die Vereinfachung $\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt{7}$ benutzen.

Es ist oft gut, früh zu vereinfachen, weil du dann mit kleineren Zahlen rechnen kannst.

	$\displaystyle \left(8\sqrt{7}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Vereinfache wie oben angegeben
$=$	$\displaystyle \left(2\sqrt{7}-3\right)\left(1-2\sqrt{7}\right)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$\displaystyle 2\sqrt7-4\cdot 7-3+6\sqrt{7}$
	↓ Fasse zusammen
$=$	$\displaystyle 8\sqrt{7}-31$

$3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt8$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

	$\displaystyle 3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt{8}$
	↓ Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
$=$	$\displaystyle 3\sqrt{7\cdot9}+6\sqrt{2\cdot36}-4\sqrt{7\cdot4}-17\sqrt{2\cdot4}$
	↓ Wurzel ziehen.
$=$	$\displaystyle 3\cdot3\sqrt{7}+6\cdot6\sqrt{2}-4\cdot2\sqrt{7}-34\sqrt{2}$
$=$	$\displaystyle 9\sqrt{7}+36\sqrt{2}-8\sqrt{7}-34\sqrt{2}$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \sqrt{7}+2\sqrt{2}$