Rechen- und Verständnisaufgaben zur Quadratwurzel

Vereinfache jeweils so weit wie möglich.

$(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})$
↓
Binomische Formel anwenden
$=$ $(1^{2} - {\sqrt{3}}^{2})$
↓
Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
$=$ $(1 - 3)$
$=$ $- 2$
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${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
↓
In der Klammer subtrahieren
$=$ ${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
$=$ ${(- 2)}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2}$
↓
Beide Teile getrennt quadrieren
$=$ $4 \cdot 2$
$=$ $8$
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$\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{6} \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{6} \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}})$
↓
$\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
$=$ $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{36} \cdot 12} - \sqrt{9 \cdot \frac{1}{27}})$
↓
In den Wurzeln multiplizieren
$=$ $\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}})$
↓
In der Klammer subtrahieren
$=$ $\sqrt{3} \cdot 0$
$=$ $0$
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$(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54}) : \sqrt{27}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54}) : \sqrt{27}$
↓
Division in Bruchschreibweise umwandeln
$=$ $\frac{(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54})}{\sqrt{27}}$
↓
Brüche einzeln schreiben
$=$ $\frac{2 \sqrt{108}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
↓
Den 1. Bruch teilweise radizieren.
$=$ $\frac{4 \sqrt{27}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
↓
Brüche kürzen.
$=$ $4 - 7 \sqrt{2}$
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${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$=$ ${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
↓
2. Binomische Formel anwenden
$=$ ${\sqrt{2}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + {\sqrt{18}}^{2}$
$=$ $2 - 12 + 18$
$=$ $8$
Alternative Lösung
${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
↓
teilweise Wurzelziehen
$=$ ${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
↓
zusammenfassen
$=$ ${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
$=$ $(- 2)^{2} \cdot (\sqrt{2})^{2}$
$=$ $4 \cdot 2$
$=$ $8$
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$(2 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$(2 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
↓
Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2 \sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7}$
$=$ $(\sqrt{28} - 3) (1 - \sqrt{28})$
↓
Klammer ausmultiplizieren.
$=$ $\sqrt{28} - 28 - 3 + 3 \sqrt{28}$
↓
Vereinfachen
$=$ $\sqrt{28} - 31 + 3 \sqrt{28}$
$=$ $4 \sqrt{28} - 31$
Alternativ kannst du auch zunächst die Vereinfachung $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2 \sqrt{7}$ benutzen.
Es ist oft gut, früh zu vereinfachen, weil du dann mit kleineren Zahlen rechnen kannst.
$(8 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
↓
Vereinfache wie oben angegeben
$=$ $(2 \sqrt{7} - 3) (1 - 2 \sqrt{7})$
↓
Klammer ausmultiplizieren
$=$ $2 \sqrt{7} - 4 \cdot 7 - 3 + 6 \sqrt{7}$
↓
Fasse zusammen
$=$ $8 \sqrt{7} - 31$
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$3 \sqrt{63} + 6 \sqrt{72} - 4 \sqrt{28} - 17 \sqrt{8}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$3 \sqrt{63} + 6 \sqrt{72} - 4 \sqrt{28} - 17 \sqrt{8}$
↓
Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
$=$ $3 \sqrt{7 \cdot 9} + 6 \sqrt{2 \cdot 36} - 4 \sqrt{7 \cdot 4} - 17 \sqrt{2 \cdot 4}$
↓
Wurzel ziehen.
$=$ $3 \cdot 3 \sqrt{7} + 6 \cdot 6 \sqrt{2} - 4 \cdot 2 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
$=$ $9 \sqrt{7} + 36 \sqrt{2} - 8 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
↓
Zusammenfassen
$=$ $\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}$
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	$(1 - \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})$
	↓ Binomische Formel anwenden
$=$	$(1^{2} - {\sqrt{3}}^{2})$
	↓ Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
$=$	$(1 - 3)$
$=$	$- 2$

	${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
$=$	${(- 2)}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2}$
	↓ Beide Teile getrennt quadrieren
$=$	$4 \cdot 2$
$=$	$8$

	$\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{6} \sqrt{12} - 3 \sqrt{\frac{1}{27}})$
	↓ $\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
$=$	$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{36} \cdot 12} - \sqrt{9 \cdot \frac{1}{27}})$
	↓ In den Wurzeln multiplizieren
$=$	$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}})$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\sqrt{3} \cdot 0$
$=$	$0$

	$(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54}) : \sqrt{27}$
	↓ Division in Bruchschreibweise umwandeln
$=$	$\frac{(2 \sqrt{108} - 7 \sqrt{54})}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche einzeln schreiben
$=$	$\frac{2 \sqrt{108}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
	↓ Den 1. Bruch teilweise radizieren.
$=$	$\frac{4 \sqrt{27}}{\sqrt{27}} - \frac{7 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche kürzen.
$=$	$4 - 7 \sqrt{2}$

	$=$	${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
	↓	2. Binomische Formel anwenden
	$=$	${\sqrt{2}}^{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + {\sqrt{18}}^{2}$
	$=$	$2 - 12 + 18$
	$=$	$8$

	${(\sqrt{2} - \sqrt{18})}^{2}$
	↓ teilweise Wurzelziehen
$=$	${(\sqrt{2} - 3 \sqrt{2})}^{2}$
	↓ zusammenfassen
$=$	${(- 2 \sqrt{2})}^{2}$
$=$	$(- 2)^{2} \cdot (\sqrt{2})^{2}$
$=$	$4 \cdot 2$
$=$	$8$

	$(2 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
	↓ Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2 \sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7}$
$=$	$(\sqrt{28} - 3) (1 - \sqrt{28})$
	↓ Klammer ausmultiplizieren.
$=$	$\sqrt{28} - 28 - 3 + 3 \sqrt{28}$
	↓ Vereinfachen
$=$	$\sqrt{28} - 31 + 3 \sqrt{28}$
$=$	$4 \sqrt{28} - 31$

	$(8 \sqrt{7} - 3) (1 - \sqrt{28})$
	↓ Vereinfache wie oben angegeben
$=$	$(2 \sqrt{7} - 3) (1 - 2 \sqrt{7})$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$2 \sqrt{7} - 4 \cdot 7 - 3 + 6 \sqrt{7}$
	↓ Fasse zusammen
$=$	$8 \sqrt{7} - 31$

	$3 \sqrt{63} + 6 \sqrt{72} - 4 \sqrt{28} - 17 \sqrt{8}$
	↓ Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
$=$	$3 \sqrt{7 \cdot 9} + 6 \sqrt{2 \cdot 36} - 4 \sqrt{7 \cdot 4} - 17 \sqrt{2 \cdot 4}$
	↓ Wurzel ziehen.
$=$	$3 \cdot 3 \sqrt{7} + 6 \cdot 6 \sqrt{2} - 4 \cdot 2 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
$=$	$9 \sqrt{7} + 36 \sqrt{2} - 8 \sqrt{7} - 34 \sqrt{2}$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}$

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Alternative Lösung

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