Aufgaben zum Rechnen mit Quadratwurzeln

Mit diesen Übungsaufgaben zum Thema Quadratwurzeln lernst du, Wurzelterme zu vereinfachen und deren Wert zu berechnen.

Vereinfache und berechne:

$7 \sqrt{9} + 5 \sqrt{3^2+ 4^2} + 5 \sqrt{3} -3\sqrt{3}$

2
Vereinfache falls möglich:
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zum Addieren von Wurzeln
  $5 \sqrt{3} \;+2\sqrt{3}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zum Addieren von Wurzeln.
  $(5+2)\sqrt{3}=7\sqrt{3}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zum Subtrahieren von Wurzeln
  $6 \sqrt{4} \;-2\sqrt{4}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zum Subtrahieren von Wurzeln und vereinfache.
  $=(6-2) \sqrt{4}\\ =4 \sqrt{4}=4 \cdot 2 = 8$
  Alternative Lösung
  Du kannst die Lösung auch ohne die Wurzelgesetze berechnen:
  $6 \sqrt{4} \;-2\sqrt{4}=$
  Berechne die Wurzel.
  $6 \cdot 2 \;-2\cdot 2=$
  Berechne.
  $12-4=8$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zum Addieren von Wurzeln
  $3\sqrt{4}+3\sqrt{3}\;$
  Hier kannst du nicht das Wurzelgesetz zur Addition von Wurzeln anwenden, da die Radikanden nicht gleich sind. Also kannst du die Wurzeln nicht zusammenfassen.
  Du könntest $3$ ausklammern: $3\cdot(\sqrt{4}+\sqrt{3})\;$
  Das ist jedoch nicht immer hilfreich.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln
  $\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln.
  $=\sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{21}$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln
  $\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln.
  $\sqrt{2 \cdot 8}=\sqrt{16}=4$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zur Division von Wurzeln
  $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}=$
  Benutze das Wurzelgesetz zur Division von Wurzeln.
  $=\sqrt{\frac{27} {3}}=\sqrt {9}=3$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zu Wurzel aus Quadrat
  $\sqrt{(-27)^2}$
  Benutze das Wurzelgesetz zu Wurzel aus Quadrat.
  $=|-27|=27$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
8. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zu Quadrat einer Wurzel
  $(\sqrt{2\cdot9})^2=(\sqrt{18})^2$
  Benutze das Wurzelgesetz zu Quadrat einer Wurzel.
  $=18$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
9. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln
  $\sqrt7\cdot\sqrt7$
  Benutze das Wurzelgesetz zur Multiplikation von Wurzeln.
  $=7$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
10. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzelgesetz zu Wurzel als Potenz
  $25^{\frac12}$
  Benutze das Wurzelgesetz zu Wurzel als Potenz.
  $=\sqrt{25}=5$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉

Vereinfache jeweils so weit wie möglich.

$\left(1-\sqrt3\right)\cdot\left(1+\sqrt3\right)$

$\left(\sqrt2-3\sqrt2\right)^2$

$\sqrt3\cdot\left(\frac16\sqrt{12}-3\sqrt{\frac1{27}}\right)$

$\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}$

$\left(\sqrt2-\sqrt{18}\right)^2$

$\left(2\sqrt7-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$

$3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt8$

Ziehe die Wurzel soweit wie möglich:

$\sqrt{20}$

$\sqrt{27}$

$\sqrt{45}$

$\sqrt{98}$

$\sqrt{180}$

$\frac{\sqrt{ 8}}{2}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

	$\displaystyle 7\sqrt{9}+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Ziehe die Wurzel $\sqrt{9}$ .
$=$	$\displaystyle 7\cdot3+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Berechne das Produkt.
$=$	$\displaystyle 21+5\sqrt{3^2+4^2}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Berechne die Quadratzahlen.
$=$	$\displaystyle 21+5\sqrt{9+16}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Fasse zusammen.
$=$	$\displaystyle 21+5\sqrt{25}+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Ziehe die Wurzel aus $\sqrt{25}$ .
$=$	$\displaystyle 21+5\cdot5+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Berechne das Produkt.
$=$	$\displaystyle 21+25+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Fasse zusammen.
$=$	$\displaystyle 46+5\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
	↓ Fasse die Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes der Subtraktion zusammen.
$=$	$\displaystyle 46+(5-3)\sqrt{3}$
	↓ Fasse zusammen.
$=$	$\displaystyle 46+2\sqrt{3}$

	$\displaystyle \left(1-\sqrt{3}\right)\cdot\left(1+\sqrt{3}\right)$
	↓ Binomische Formel anwenden
$=$	$\displaystyle \left(1^2-\sqrt{3}^2\right)$
	↓ Quadrieren und die Wurzel heben sich auf.
$=$	$\displaystyle \left(1-3\right)$
$=$	$\displaystyle -2$

	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)^2$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\displaystyle \left(-2\sqrt{2}\right)^2$
$=$	$\displaystyle \left(-2\right)^2\cdot\left(\sqrt{2}\right)^2$
	↓ Beide Teile getrennt quadrieren
$=$	$\displaystyle 4\cdot2$
$=$	$\displaystyle 8$

	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\frac{1}{6}\sqrt{12}-3\sqrt{\frac{1}{27}}\right)$
	↓ $\frac{1}{6}$ und $3$ in Wurzel ziehen
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{36}\cdot12}-\sqrt{9\cdot\frac{1}{27}}\right)$
	↓ In den Wurzeln multiplizieren
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot\left(\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{1}{3}}\right)$
	↓ In der Klammer subtrahieren
$=$	$\displaystyle \sqrt{3}\cdot0$
$=$	$\displaystyle 0$

	$\displaystyle \left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right):\sqrt{27}$
	↓ Division in Bruchschreibweise umwandeln
$=$	$\displaystyle \frac{\left(2\sqrt{108}-7\sqrt{54}\right)}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche einzeln schreiben
$=$	$\displaystyle \frac{2\sqrt{108}}{\sqrt{27}}-\frac{7\sqrt{54}}{\sqrt{27}}$
	↓ Den 1. Bruch teilweise radizieren.
$=$	$\displaystyle \frac{4\sqrt{27}}{\sqrt{27}}-\frac{7\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{27}}{\sqrt{27}}$
	↓ Brüche kürzen.
$=$	$\displaystyle 4-7\sqrt{2}$

	$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2$
	↓	2. Binomische Formel anwenden
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{18}+\sqrt{18}^2$
	$=$	$\displaystyle 2-12+18$
	$=$	$\displaystyle 8$

	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-\sqrt{18}\right)^2$
	↓ teilweise Wurzelziehen
$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{2}-3\sqrt{2}\right)^2$
	↓ zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \left(-2\sqrt{2}\right)^2$
$=$	$\displaystyle (-2)^2\cdot(\sqrt{2})^2$
$=$	$\displaystyle 4\cdot2$
$=$	$\displaystyle 8$

	$\displaystyle \left(2\sqrt{7}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Ziehe die 2 unter die Wurzel. Es gilt: $2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot7}$
$=$	$\displaystyle \left(\sqrt{28}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren.
$=$	$\displaystyle \sqrt{28}-28-3+3\sqrt{28}$
	↓ Vereinfachen
$=$	$\displaystyle \sqrt{28}-31+3\sqrt{28}$
$=$	$\displaystyle 4\sqrt{28}-31$

	$\displaystyle \left(8\sqrt{7}-3\right)\left(1-\sqrt{28}\right)$
	↓ Vereinfache wie oben angegeben
$=$	$\displaystyle \left(2\sqrt{7}-3\right)\left(1-2\sqrt{7}\right)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$\displaystyle 2\sqrt7-4\cdot 7-3+6\sqrt{7}$
	↓ Fasse zusammen
$=$	$\displaystyle 8\sqrt{7}-31$

	$\displaystyle 3\sqrt{63}+6\sqrt{72}-4\sqrt{28}-17\sqrt{8}$
	↓ Die Werte unter der Wurzel faktorisieren.
$=$	$\displaystyle 3\sqrt{7\cdot9}+6\sqrt{2\cdot36}-4\sqrt{7\cdot4}-17\sqrt{2\cdot4}$
	↓ Wurzel ziehen.
$=$	$\displaystyle 3\cdot3\sqrt{7}+6\cdot6\sqrt{2}-4\cdot2\sqrt{7}-34\sqrt{2}$
$=$	$\displaystyle 9\sqrt{7}+36\sqrt{2}-8\sqrt{7}-34\sqrt{2}$
	↓ Zusammenfassen
$=$	$\displaystyle \sqrt{7}+2\sqrt{2}$

$\displaystyle \sqrt{20}$	$=$
	↓	Mache die Primfaktorenzerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2\cdot2\cdot5}$
	↓	Suche gerade Exponenten in der Zerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2\cdot5}$
	↓	Zerlege die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2}\cdot\sqrt{5}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\sqrt{5}$
	$=$	$\displaystyle 2\sqrt{5}$

$\displaystyle \sqrt{27}$	$=$
	↓	Mache die Primfaktorenzerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3\cdot3\cdot3}$
	↓	Suche gerade Exponenten in der Zerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3^2\cdot3}$
	↓	Zerlege die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3^2}\cdot\sqrt{3}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\sqrt{3}$
	$=$	$\displaystyle 3\sqrt{3}$

$\displaystyle \sqrt{45}$	$=$
	↓	Mache die Primfaktorenzerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3\cdot3\cdot5}$
	↓	Suche gerade Exponenten in der Zerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3^2\cdot5}$
	↓	Zerlege die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{3^{2\cdot5}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 3\cdot\sqrt{5}$
	$=$	$\displaystyle 3\sqrt{5}$

$\displaystyle \sqrt{98}$	$=$
	↓	Mache die Primfaktorenzerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2\cdot7\cdot7}$
	↓	Suche gerade Exponenten in der Zerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2\cdot7^2}$
	↓	Zerlege die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{7^2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}\cdot7$
	$=$	$\displaystyle 7\sqrt{2}$

$\displaystyle \ \sqrt{180}$	$=$
	↓	Mache die Primfaktorenzerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5}$
	↓	Suche gerade Exponenten in der Zerlegung.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2\cdot3^2\cdot5}$
	↓	Zerlege die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2^2}\cdot\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{5}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot3\cdot\sqrt{5}$
	$=$	$\displaystyle 6\cdot\sqrt{5}$
	$=$	$\displaystyle 6\sqrt{5}$

$\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{2}$	$=$
	↓	Mache die Primfaktorenzerlegung.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2\cdot2\cdot2}}{2}$
	↓	Suche gerade Exponenten in der Zerlegung.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2^2\cdot2}}{2}$
	↓	Zerlege die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2^2}\cdot\sqrt{2}}{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\sqrt{2}}{2}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{2}$

Aufgaben zum Rechnen mit Quadratwurzeln

Hast du eine Frage oder Feedback?

Alternative Lösung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Alternative Lösung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?