Geraden

Allgemeine Geradengleichung

Eine Gerade kann mit Hilfe von Vektoren beschrieben werden. Dafür benötigt man einen Aufpunkt %%A%% und einen Richtungsvektor %%\vec{v}%%.

Die Geradengleichung der Geraden %%g%% sieht dann so aus:

%%g : \vec{X} = \vec{A} + \lambda \cdot \vec{v}%%

wobei %%\vec{A}%% der Ortsvektor des Punktes %%A%% ist.

Dabei spielt es keine Rolle ob die Vektoren 2- oder 3-dimensional sind. (Es funktioniert sogar mit n-dimensionalen Vektoren.)

Bild Gerade Aufpunkt Vektor

Geradengleichung aus 2 Punkten berechnen

Typischerweise bekommt man zwei verschiedene Punkte %%A\left( a_1 | a_2\right)%% und %%B\left( b_1 | b_2\right)%%.

Um die Geradengleichung zu bestimmen, die durch %%A%% und %%B%% geht, muss man sich zuerst aussuchen, welcher der beiden Punkte der Aufpunkt sein soll. Es spielt allerdings keine Rolle, ob man %%A%% oder %%B%% nimmt.

Anschließend bestimmen wir den Richtungsvektor %%\vec{v}%% von %%A%% nach %%B%%, oder von %%B%% nach %%A%%, es spielt dabei ebenfalls keine Rolle welche Variante man wählt: $$\vec{v} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{pmatrix}$$ bzw.: $$\vec{v} = \vec{A} - \vec{B} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \end{pmatrix}$$

Jetzt müssen wir nurnoch die Werte in unsere Geradengleichung von oben einsetzen. Weiter unten befinden sich ein Beispiel dazu.

Hinweis: Die Berechnung erfolgt, wie wir bereits wissen, analog für 3-dimensionale Vektoren.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte %%A \left( 2 | 5 |-3 \right)%% und %%B\left( 7 | -1 | -12 \right)%%

Mit Aufpunkt %%A%% ergibt sich folgende Geradengleichung: $$\begin{align} g: \vec{X} &= \vec{B} + \lambda \cdot \vec{v} \\&= \vec{B} + \lambda \cdot \vec{BA} \\&= \vec{A} + \lambda \cdot (\vec{B}-\vec{A}) \\&= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \left\lbrack \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -12 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} \right\rbrack \\&= \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -6 \\ -9 \end{pmatrix} \end{align}$$

Mit Aufpunkt %%B%% ergibt sich folgende Geradengleichung:

$$ \begin{align} g: \vec{X} &= \vec{B} + \lambda \cdot \vec{v} \\&= \vec{B} + \lambda \cdot \vec{BA} \\&= \vec{B} + \lambda \cdot (\vec{A}-\vec{B}) \\&= \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -12 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \left\lbrack \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -12 \end{pmatrix} \right\rbrack \\&= \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -12 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -5 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} \end{align}$$

Kommentieren Kommentare

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Digamma 2016-11-15 15:40:46
RICHTUNGSVEKTOR
Auch wenn es üblich ist, den Vektor AB als Richtungsvektor zu wählen, wenn A der Aufpunkt ist, so ist überhaupt nicht zwingend. Vielmehr ist es völlig egal, ob man den Vektor AB oder den Vektor BA als Richtungsvektor nimmt, völlig unabhängig davon, welchen der Punkte man als Aufpunkt wählt. Der Text oben ist insofern irreführend.
Stromi93 2016-11-16 14:26:38
Hallo Digamm,

danke schonmal für deine Rückmeldung! Ich gebe dir vollkommen recht. Ich habe den Text jetzt angepasst und hoffe das es so verständlicher klingt und nicht mehr irreführend wirkt.
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Kowalsky 2016-11-01 09:52:33
Vielleicht habe ich mich nicht ganz verständlich ausgedrückt. Gemeint ist gerade der Bezug zur Schulmathematik. Hier gilt: Schreibweise Punkt z.B. A(1/2/3) als Zeile (also waagrecht) geschrieben.
Vektor dagegen z.B a (mit Vektorpfeil) = (1) als Spaltenvektor
(oder OA mit Vektorpfeil) (2)
(NIE nur ein Großbuchstabe ) (3) (ich kann hier Vektoren schlecht darstellen)
Renate 2016-11-01 12:25:28
Hallo Kowalsky,
was die Ortsvektoren OA mit Vektorpfeil anbelangt, so habe ich es in meiner Schulzeit und bei meinem Lehrer auch so gelernt, wie du es beschreibst (wenn ich dich richtig verstehe, und wenn ich es richtig erinnere).
ABER: Inzwischen habe ich in meiner langjährigen Nachhilfetätigkeit schon (sehr) oft die Konvention gesehen, dass man A mit Vektorpfeil statt OA mit Vektorpfeil schreibt.
Das ist offenbar eine abkürzende Schreibweise, die weit verbreitet zu sein scheint.

Was die Schreibweise für die Punkte betrifft, stimme ich dir jedoch zu: Sie sollten hier auf alle Fälle "waagrecht" geschrieben - vielen Dank für deinen Diskussionsbeitrag!
Renate
Nish 2016-11-01 14:40:58
@Kowalsky Bei der Schreibweise für Punkte stimme ich dir und Renate zu. Ich habe Ortsvektoren selber auch als OA mit Vektorpfeil geschrieben (soweit ich mich auch richtig erinnere). Mein Vorschlag wäre daher, beide Schreibweisen für den Ortsvektor im Kurs einzuführen und v.a. die Schreibweise mit dem Vektorpfeil über A als oft verwendete Konvention zu kennzeichnen, falls das im Kurs noch nicht geschehen ist. Wir sollten auch mal schauen, wie der Ortsvektor in den Artikeln dargestellt wird und gegebenenfalls dort anpassen.
@Renate, @Stromi93 Was meinst ihr?
Renate 2016-11-02 11:08:12
Was die Punkte betrifft, so habe ich die Schreibweise jetzt erst einmal hier abgeändert;
so steht es nämlich auch in den Richtlinien (https://de.serlo.org/richtlinien-mathe-formeln):
"Die Koordinaten von Punkten werden mit senkrechten Strichen getrennt: P(0|1)".

Gruß
Renate
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Kowalsky 2016-10-30 11:40:00
Rechtschreibung: Beispiel;
mathematischer Fehler: Bei der 2. Gerade muss am Anfang der Vektor OB stehen und nicht OA
Nish 2016-10-30 13:34:52
Auch hier, vielen Dank für den Hinweis! Ich habe es gerade korrigiert. Passt es jetzt?
Kowalsky 2016-10-31 08:42:58
Soweit okay, aber es geht noch um die generelle Schreibweise z.B. Punkte nicht als Spaltenvektoren usw.
Stromi93 2016-10-31 09:40:26
Hallo Kowalsky,
erstmal vielen Dank, dass du dir die Zeit nimmst meine Fehler in diesen Kurs weiterzugeben.
Zu deinem Kommentar "Punkte nicht als Spaltenvektoren":
Findest du, es sei nicht Sinnvoll diese so darzustellen? Normalerweise werden in der Schul-Geometrie Punkte als Vektoren dargestellt.
Digamma 2016-11-11 19:34:04
Wenn ich mich einmischen darf: Die Frage ist, was du unter "darstellen" verstehst. Zunächst wird in der Schulmathematik (zumindest in Baden-Württemberg) strikt zwischen Punkten und Vektoren unterschieden. Da man mit Punkten aber nicht rechnen kann, erscheinen in den Geraden- und Ebenengleichungen statt der Punkte ihre Ortsvektoren. Begrifflich wird sehr wohl unterschieden zwischen einem Punkt und seinem Ortsvektor. Ich kenne Kollegen, die da äußerst pingelig sind.
Deshalb würde ich oben auch auf keinen Fall "Aufpunkt \vec a" schreiben. "\vec a" ist der Orstvektor des Aufpunkts, aber nicht der Aufpunkt selbst. (In BW sprechen wir vom "Stützpunkt" und nennen dessen Ortsvektor "Stützvektor".)
Renate 2016-11-12 21:02:16
@Kowalsky, @Stromi93, @Digamma:
Jetzt habe ich im Abschnitt "Allgemeine Geradengleichung" einfach mal ein paar Änderungen gemacht - würdet ihr euch mit diesem Vorschlag einverstanden sehen?

@Digamma: Kennst du aus Baden-Württemberg die Konvention, den Ortsvektor eines Punktes P statt mit OP mit Vektorpfeil darüber abgekürzt mit P mit Vektorpfeil darüber zu bezeichnen?

Gruß aus München und Dank an alle für die Mithilfe dabei, Serlo zu verbessern!
Renate
Digamma 2016-11-13 17:58:27
Hallo Renate, danke für die Änderung. Die abkürzende Schreibweise P mit Vektorpfeil für den Ortsvektor OP mit Vektorpfeil kenne ich aus der Schule nicht. Ich kenne nur die Konvention, den entsprechenden Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil darüber zu verwenden. Mit der Schreibweise Großbuchstabe des Punktes mit Vektorpfeil habe ich aber kein Problem.
Kowalsky 2016-11-14 11:16:02
Hallo Renate, in Hessen ist die abkürzende Schreibweise mit einem Großbuchstaben unüblich. Man findet diese Schreibweise in keinem aktuellen Mathe-Schulbuch. Ich verwende hier einen Kleinbuchstaben.
Die Schreibweise der Geradengleichung ist in gewisser Weise inkonsequent.
Auf der linken Seite der Vektor Klein-x als Vektor zu einem Punkt X auf der Geraden, dann aber ein Vektor Groß-A als Start- bzw. Stützvektor.
Ich würde die Gleichungen im Beispiel folgendermaßen schreiben
(alle Buchstaben bis auf den Parameter mit Vektorpfeil):
x = a + r*AB dann x = a+ r*(b - a). Nun ja, darüber kann man diskutieren.
Renate 2016-11-16 10:20:23
@Digamma, @Kowalsky:
Vielen Dank für die Informationen! - Da anscheinend tatsächlich verschiedene Konventionen verbreitet sind, habe ich nun einen entsprechenden Kommentar zum Serlo-Artikel "Vektor" (https://de.serlo.org/1573), in dem es einen Abschnitt "Ortsvektoren und ihre Darstellung" gibt, geschrieben mit dem Vorschlag, die Schreibweise mit den Kleinbuchstaben zu ergänzen.

Ich hatte gestern Gelegenheit, in einem bayerischen Schulbuch (für Gymnasium) nachzusehen und fand dort in der Tat die von mir erinnerte Schreibweise A mit Vektorpfeil darüber für den Ortsvektor des Punktes A verwendet.
Allerdings, @Kowalsky, wurde dort - konsequent - auch X mit Vektorpfeil darüber (und nicht x mit Vektorpfeil darüber) geschrieben; ich habe das nun hier oben auch erstmal so abgeändert.

Gruß
Renate
Kowalsky 2016-11-17 12:50:44
Hallo Renate, habe mir mal im Internet Mathebücher online angesehen. Die Schreibweise für bayrische Schulbücher ist so, wie sie jetzt oben steht. Allerdings habe ich noch 2 weitere Schreibweisen entdeckt (0A und a) jeweils in verschiedenen Bundesländern. Das finde ich etwas schade, da es nur eine Mathematik gibt und die Schreibweise einheitlich sein sollte - Auswüchse des Föderalismus in der Bildungspolitik! Wie soll das dann gehen, wenn es z.B. in Mathematik ein Zentralabitur in Deutschland geben sollte. Da schreibt dann jeder etwas Anderes.
Renate 2016-11-18 07:50:07
Wirklich OA und a jeweils ohne Vektorpfeil darüber? Das ist aber problematisch.

Die Bezeichnung OA ist - zumindest in Bayern - für die GERADE durch O und A (und keinen Vektor) vorgesehen, und das ist hier in den Schulen auch so gebräuchlich.

Mit "a" kann man meines Wissens den BETRAG des Vektors a mit Vektorpfeil darüber schreiben; aber das ist inzwischen offenbar weniger verbreitet, wahrscheinlich erinnere ich es nur aus meiner Schulzeit oder aus der Physik.
Digamma 2016-11-18 10:46:49
Da dieser Artikel hier Bestandteil des Abiturvorbereitungskurses für Bayern ist, sollten HIER auf jeden Fall die Schreibweisen so verwendet werden wie in den bayerischen Abitursaufgaben.
@Renate: Ich vermute, dass Kowalsky die Pfeile einfach vergessen hat. Man kann hier auf den Diskussionsseiten kein LaTeX verwenden, oder? Das macht die Diskussion schwierig.
@Kowalsky: Es gibt nun mal verschiedene Konventionen. An der Uni lernt man wieder andere kennen. Ich finde es auch wichtig, dass man zu unterscheiden lernt, was mathematische Inhalte sind, und was bloße Konvention ist.
Kowalsky 2016-11-19 10:47:25
Hallo Renate und Digamma,
ich kann bei einem Kommentar keinen Vektor mit Pfeil schreiben (Latex?), deshalb sind natürlich alle Buchstaben für Vektoren immer mit Pfeil zu denken. Mir war auch nicht klar, dass diese Seite speziell für Bayern gedacht ist. Ich fand es aber schon sehr verwunderlich, dass es so viele unterschiedliche (ich kenne jetzt 3) Schreibweisen für eine vektorielle Darstellung (z.B. die Geradengleichung) in Deutschland gibt.
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