12Geraden

vektorielle Geradengleichung / Gleichung in Parameterform

Eine Gerade kann mit Hilfe von Vektoren beschrieben werden. Dafür benötigt man einen Aufpunkt $A$ und einen Richtungsvektor $\vec{v}$ .

Die Geradengleichung der Geraden $g$ sieht dann so aus:

$g:\vec{x}=\overrightarrow{OA}+\lambda\cdot\vec{v}$

wobei $\overrightarrow{OA}$ der Ortsvektor des Punktes $A$ ist.

Dabei spielt es keine Rolle ob die Vektoren 2- oder 3-dimensional sind. (Es funktioniert sogar mit n-dimensionalen Vektoren.)

Geradengleichung aus 2 Punkten berechnen

Typischerweise bekommt man zwei verschiedene Punkte $A\left(a_1|a_2\right)$ und $B\left(b_1|b_2\right)$ .

Um die Geradengleichung zu bestimmen, die durch $A$ und $B$ geht, muss man sich zuerst aussuchen, welcher der beiden Punkte der Aufpunkt sein soll. Es spielt allerdings keine Rolle, ob man $A$ oder $B$ nimmt.

Anschließend bestimmen wir den Richtungsvektor $\vec{v}$ von $A$ nach $B$ , oder von $B$ nach $A$ , es spielt dabei ebenfalls keine Rolle welche Variante man wählt:

\displaystyle \vec{v} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{pmatrix}

bzw.:

\displaystyle \vec{v} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{pmatrix}

Jetzt müssen wir nur noch die Werte in unsere Geradengleichung von oben einsetzen. Weiter unten befinden sich ein Beispiel dazu.

Hinweis: Die Berechnung erfolgt, wie wir bereits wissen, analog für 3-dimensionale Vektoren.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte $A \left( 2 | 5 |-3 \right)$ und $B\left(7|-1|-12\right)$

Mit Aufpunkt $A$ ergibt sich folgende Geradengleichung:

\displaystyle \vec{v} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{pmatrix}

Mit Aufpunkt $B$ ergibt sich folgende Geradengleichung:

\displaystyle \vec{v} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \end{pmatrix}

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