Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{5x+17}{\mathrm{0,64}{x}^2+\mathrm{1,12}x+\mathrm{0,49}}}$

Setze den Nenner gleich 0.

$\mathrm{0,64}{x}^2+\mathrm{1,12}x+\mathrm{0,49}=0$

Berechne die Diskriminante.

$\begin{array}{lll}D& =& (\mathrm{1,12}{)}^2-4\cdot \mathrm{0,64}\cdot \mathrm{0,49}\\ & =& \mathrm{1,2544}-\mathrm{1,2544}\\ & =& 0\end{array}$

$\Rightarrow 1\mathrm{L}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{g}$

Wende nun die Mitternachtsformel an.

$x={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,12}}{2\cdot \mathrm{0,64}}}=-\mathrm{0,875}$

$\Rightarrow D=ℝ\setminus \{-\mathrm{0,875}\}$

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die der Radikand $g(x)=x^2+4x+4$ im Zähler größer gleich $0$ ist UND der Radikand $h(x)=2x^2+20x+60$ im Nenner größer als $0$ ist.

Nullstellen von $g(x)=x^2+4x+4$

Faktorisiere $g(x)$ mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel:

$g(x)=(x+2)(x+2)$

$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x=-2$

Da der Graph der Funktion $g(x)=x^2+4x+4$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle $x\in ℝ$ größer gleich 0.

Nullstellen von $h(x)=2x^2+20x+60$

$D={20}^2-4\cdot 2\cdot 60=-80<0$

$\Rightarrow$ keine Nullstellen

Hier zeigt die Berechnung der Diskriminanten, dass die Funktion $h$ keine reellen Nullstellen besitzt.

Da der Graph der Funktion $h(x)=2x^2+20x+60$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel oberhalb der x-Achse liegt, ist sie für alle $x\in ℝ$ positiv.

Interpretation

Da sowohl für $g$ als auch $h$ die Bedingung aus der Vorüberlegung für alle $x\in ℝ$ erfüllt ist, gilt:

${𝔻}_f=ℝ$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Der Exponent $\frac{1}{2}$ steht für die Quadratwurzel. Demnach ist die Funktion $f$ genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g(x)=4x-9$ größer gleich $0$ ist UND die Funktion $h(x)=18-8x$ im Nenner ungleich $0$ ist.

Nullstellen von $g(x)=4x-9$

Die Nullstelle der linearen Funktion $g$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.

Da der Graph der Funktion $g(x)=4x-9$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt $g$ für alle $x\ge \frac{9}{4}$ Werte größer gleich $0$ an.

Nullstellen von $h(x)=18-8x$

Die Nullstelle der linearen Funktion $h$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.

Interpretation

Da die Bedingungen an $g$ und $h$ aus der Vorüberlegung genau für alle $x>\frac{9}{4}$ erfüllt sind, gilt:

${𝔻}_f=]\frac{9}{4};\infty [$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g(x)=6x-x^2-9$ größer gleich $0$ ist.

Nullstellen von $g(x)=-x^2+6x-9$

Hier lässt sich $g(x)$ mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.

$g(x)=-(x-3)(x-3)$

$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x_1=3$

Da der Graph der Funktion g eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt g nur für $x=3$ einen nicht-negativen Wert an.

Interpretation

Nach der Vorüberlegung gilt:

${𝔻}_f=\{3\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{2}{x}^2-2}}$

Nenner darf nicht 0 werden  $\Rightarrow$  Nenner gleich 0 setzen.

$\Rightarrow x=\pm 2$

$\Rightarrow {𝔻}_f=ℝ\backslash \{2;-2\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3+x^2+x+1}{\frac{4}{9}{x}^2-\frac{1}{4}}}$

Der Nenner $g(x)=\frac{4}{9}{x}^2-\frac{1}{4}$ darf nicht $0$ werden, setze diesen also gleich 0.

$g(x)=\frac{4}{9}{x}^2-\frac{1}{4}=0$

Hier kannst du die Mitternachtsformel verwenden oder die Funktion mit der 3. Binomischen Formel umgehen.

$g(x)=(\frac{2}{3}x-\frac{1}{2})(\frac{2}{3}x+\frac{1}{2})=0$

Zunächst betrachtet man den (linearen) Term in der ersten Klammer.

1.Nullstelle:

Nun betrachtet man den (linearen) Term in der zweiten Klammer.

2.Nullstelle

Damit gilt: ${𝔻}_{𝕗}=ℝ\backslash \{-\frac{3}{4};\frac{3}{4}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{\sin x}{x^2-4x+4}}$

Nenner darf nicht 0 werden, setze diesen also gleich 0.

$x^2-4x+4=0$

Hier lässt sich die 2. Binomische Formel anwenden.

${(x-2)}^2=0$

$\Rightarrow x=2$

Also gilt: ${𝔻}_f=ℝ\backslash \{2\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{-x^2+6x-9}}$

Der Nenner $g(x)=-x^2+6x-9$ darf nicht $0$ werden, setze ihn also gleich 0.

$g(x)=-x^2+6x-9=0$

Um das zu lösen, kannst du die Mitternachtsformel verwenden oder die Funktion mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.

$g(x)=-(x-3)(x-3)$

$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x=3$

Also gilt: $𝔻=ℝ\backslash \left\{3\right\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\mathrm{ax}+4{\mathrm{bx}}^2+8{\mathrm{cx}}^3}{80-5x^2}}$

Setze den Nenner gleich 0:

$\Rightarrow D_f=ℝ\backslash \{-4;4\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=(2-x)\cdot {\displaystyle \frac{x+x^2+x^3+x^4}{x^3-\frac{1}{4}x}}$

Setze den Nenner gleich 0.

Damit kannst du die erste Nullstelle $x_1=0$ ablesen, für die anderen betrachtest du die Klammer:

$\Rightarrow$${𝔻}_f=ℝ\backslash \{-\frac{1}{2}\text{;0;}\frac{1}{2}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x}{\sin (x)}}$

Setze den Nenner gleich 0.

$\sin (x)=0$

Überlege dir folgendes: Die gewöhnliche Sinus-Kurve schneidet die x-Achse genau bei allen Vielfachen von $\pi$.

$\Rightarrow$${𝔻}_f=ℝ\backslash \{k\cdot \pi |k\in \mathbb{Z}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=123\cdot {\displaystyle \frac{4+5x+6x^2}{\cos (x+4)}}$

Der Nenner ($\cos (x+4)$) darf nicht $0$ werden, überlege dir also für welche $x$ er 0 werden würde.

$\cos (x+4)=0$

$x+4\in \{\frac{\pi }{2}+k\cdot \mathrm{\pi }|\mathrm{k}\in \mathbb{Z}\}$

$x\in \{-4+\frac{\pi }{2}+k\cdot \mathrm{\pi }|\mathrm{k}\in \mathbb{Z}\}$

Also gilt: ${𝔻}_f=ℝ\backslash \{-4+\frac{\pi }{2}+k\cdot \pi |k\in \mathbb{Z}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f(x)={\displaystyle \frac{6789}{\sqrt{3}\cos (x)-\sin (x)}}$

Der Nenner ($\sqrt{3}\cos (x)-\sin (x)$) darf nicht $0$ werden, überlege dir für welche $x$ er diesen Wert annehmen würde:

$x\in \{\frac{\pi }{3}+2k\cdot \pi |k\in \mathbb{Z}\}$

Also gilt: ${𝔻}_f=ℝ\backslash \{\frac{\pi }{3}+2k\cdot \pi |k\in \mathbb{Z}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f(x)={\displaystyle \frac{5x^2-a}{36x^2-16x}}$

Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners, setze diesen also gleich 0.

Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

1.Möglichkeit:

$x=0$

2.Möglichkeit:

Also gilt: ${𝔻}_f=ℝ\backslash \{0;\frac{4}{9}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x-6}}-{\displaystyle \frac{1}{6x+1}}$

Definitionslücken sind die Nullstellen der Nenner.

Also gilt: ${𝔻}_f=ℝ\backslash \{-\frac{1}{6};6\}$