Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=\dfrac{5x+17}{0{,}64x^2+1{,}12x+0{,}49}$

Setze den Nenner gleich 0.

$0{,}64x^2+1{,}12x+0{,}49=0$

Berechne die Diskriminante.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lll}D&=&(1{,}12)^2-4\cdot0{,}64\cdot0{,}49 \\ &=&1{,}2544-1{,}2544 \\ &=& 0 \end{array}$

$\;\;\Rightarrow\;\;1\;\mathrm{Lösung}$

Wende nun die Mitternachtsformel an.

$x=\dfrac{-1{,}12}{2\cdot0{,}64}=-0{,}875$

$\;\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\setminus\{-0{,}875\}$

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die der Radikand $g(x)=x^2+4x+4$ im Zähler größer gleich $0$ ist UND der Radikand $h(x)=2x^2+20x+60$ im Nenner größer als $0$ ist.

Nullstellen von $g(x)=x^2+4x+4$

Faktorisiere $g(x)$ mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel:

$g(x)=(x+2)(x+2)$

$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x=-2$

Da der Graph der Funktion $g(x)=x^2+4x+4$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle $x\in\mathbb{R}$ größer gleich 0.

Nullstellen von $h(x)=2x^2+20x+60$

$D=20^2-4\cdot2\cdot60=-80<0$

$\Rightarrow$ keine Nullstellen

Hier zeigt die Berechnung der Diskriminanten, dass die Funktion $h$ keine reellen Nullstellen besitzt.

Da der Graph der Funktion $h(x)=2x^2+20x+60$ eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel oberhalb der x-Achse liegt, ist sie für alle $x\in\mathbb{R}$ positiv.

Interpretation

Da sowohl für $g$ als auch $h$ die Bedingung aus der Vorüberlegung für alle $x\in\mathbb{R}$ erfüllt ist, gilt:

$\mathbb{D}_f=ℝ$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Der Exponent $\frac12$ steht für die Quadratwurzel. Demnach ist die Funktion $f$ genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g(x)=4x-9$ größer gleich $0$ ist UND die Funktion $h(x)=18-8x$ im Nenner ungleich $0$ ist.

Nullstellen von $g(x)=4x-9$

Die Nullstelle der linearen Funktion $g$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.

Da der Graph der Funktion $g(x)=4x-9$ eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt $g$ für alle $x\geq\frac94$ Werte größer gleich $0$ an.

Nullstellen von $h(x)=18-8x$

Die Nullstelle der linearen Funktion $h$ lässt sich durch einfaches Auflösen nach x bestimmen.

Interpretation

Da die Bedingungen an $g$ und $h$ aus der Vorüberlegung genau für alle $x>\frac94$ erfüllt sind, gilt:

$\mathbb{D}_f= \left]\frac94;\infty\right[$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion $f$ ist genau für diejenigen $x$ definiert, für die $g(x)=6x−x^2−9$ größer gleich $0$ ist.

Nullstellen von $g(x)=-x^2+6x-9$

Hier lässt sich $g(x)$ mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.

$g(x)=-(x-3)(x-3)$

$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x_1=3$

Da der Graph der Funktion g eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt g nur für $x=3$ einen nicht-negativen Wert an.

Interpretation

Nach der Vorüberlegung gilt:

$\mathbb{D}_f=\{{3}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=\dfrac1{\frac12x^2-2}$

Nenner darf nicht 0 werden  $\Rightarrow$  Nenner gleich 0 setzen.

$\Rightarrow x = \pm 2$

$\;\;\Rightarrow\;\;\mathbb{D}_f=ℝ\backslash\left\{2;-2\right\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{\frac49x^2-\frac14}$

Der Nenner $g(x)=\frac{4}9x^2-\frac{1}4$ darf nicht $0$ werden, setze diesen also gleich 0.

$g(x)=\frac49x^2-\frac14=0$

Hier kannst du die Mitternachtsformel verwenden oder die Funktion mit der 3. Binomischen Formel umgehen.

$g(x)=\left(\frac23x-\frac12\right)\left(\frac23x+\frac12\right)=0$

Zunächst betrachtet man den (linearen) Term in der ersten Klammer.

1.Nullstelle:

Nun betrachtet man den (linearen) Term in der zweiten Klammer.

2.Nullstelle

Damit gilt: $\mathbb{D_f}=\mathbb{R}\backslash\{-\frac34;\frac34\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=\dfrac{\sin\;x}{x^2-4x+4}$

Nenner darf nicht 0 werden, setze diesen also gleich 0.

$x^2-4x+4=0$

Hier lässt sich die 2. Binomische Formel anwenden.

$\left(x-2\right)^2=0$

$\Rightarrow x = 2$

Also gilt: $\mathbb {D}_f=\mathbb{R}\backslash\{2\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f(x)=\dfrac1{-x^2+6x-9}$

Der Nenner $g(x)=-x^2+6x-9$ darf nicht $0$ werden, setze ihn also gleich 0.

$g(x)=-x^2+6x-9=0$

Um das zu lösen, kannst du die Mitternachtsformel verwenden oder die Funktion mit dem Verfahren von Vieta oder der binomischen Formel faktorisieren.

$g(x)=-(x-3)(x-3)$

$\Rightarrow$ doppelte Nullstelle bei $x=3$

Also gilt: $\mathbb{D}=ℝ\backslash\left\{3\right\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=\dfrac{2\mathrm{ax}+4\mathrm{bx}^2+8\mathrm{cx}^3}{80-5x^2}$

Setze den Nenner gleich 0:

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f=ℝ\backslash\left\{-4;4\right\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=\left(2-x\right)\cdot\dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{x^3-\frac14x}$

Setze den Nenner gleich 0.

Damit kannst du die erste Nullstelle $x_1 = 0$ ablesen, für die anderen betrachtest du die Klammer:

$\Rightarrow$$\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}2\text{;0;}\frac12\textstyle\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=\dfrac x{\sin(x)}$

Setze den Nenner gleich 0.

$\sin(x)=0$

Überlege dir folgendes: Die gewöhnliche Sinus-Kurve schneidet die x-Achse genau bei allen Vielfachen von $\pi$.

$\Rightarrow$$\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f\left(x\right)=123\cdot\dfrac{4+5x+6x^2}{\cos\left(x+4\right)}$

Der Nenner ($\cos(x+4)$) darf nicht $0$ werden, überlege dir also für welche $x$ er 0 werden würde.

$\cos(x+4)=0$

$x+4\in\{\frac\pi2+k\cdot\mathrm\pi\vert\mathrm k\in\mathbb{Z}\}$

$x\in\{-4+\frac\pi2+k\cdot\mathrm\pi\vert\mathrm k\in\mathbb{Z}\}$

Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-4+\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f(x)=\dfrac{6789}{\sqrt3\cos(x)-\sin(x)}$

Der Nenner ($\sqrt3\cos(x)-\sin(x)$) darf nicht $0$ werden, überlege dir für welche $x$ er diesen Wert annehmen würde:

$x\in\{\frac\pi3+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$

Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{\frac\pi3+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f(x)=\dfrac{5x^2-a}{36x^2-16x}$

Die Definitionslücken sind die Nullstellen des Nenners, setze diesen also gleich 0.

Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

1.Möglichkeit:

$x=0$

2.Möglichkeit:

Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\left\{0;\;\;\frac49\right\}$

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$f(x)=\dfrac1{x-6}-\dfrac1{6x+1}$

Definitionslücken sind die Nullstellen der Nenner.

Also gilt: $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\left\{-\frac16;\;6\right\}$