Aufgaben zur Quotientenregel - lernen mit Serlo!

Bilde von folgenden Funktionen die Ableitung mithilfe der Quotientenregel.

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Um diese Aufgabe bearbeiten zu können solltest du Ableitungen und vor allem die Quotientenregel beherrschen.
$f (x) = \frac{x^{2}}{2 x + 2}$
Wende die Quotientenregel an.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(2 x + 2) \cdot 2 x - x^{2} \cdot 2}{(2 x + 2)^{2}}$
↓
Vereinfachen.
$=$ $\frac{4 x^{2} + 4 x - 2 x^{2}}{(2 x + 2)^{2}}$
$=$ $\frac{2 x^{2} + 4 x}{[2 (x + 1)]^{2}}$
$=$ $\frac{2 x \cdot (x + 2)}{4 \cdot (x + 1)^{2}}$
$=$ $\frac{x \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)^{2}}$
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$f (x) = \frac{4}{3 x - 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Zum Lösen dieser Aufgabe brauchst du Wissen über Ableitungen und die Quotientenregel.
$f (x) = \frac{4}{3 x - 2}$
Wende die Quotientenregel an.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(3 x - 2) \cdot 0 - 4 \cdot 3}{(3 x - 2)^{2}}$
↓
Vereinfachen.
$=$ $- \frac{12}{(3 x - 2)^{2}}$
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$f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du dich mit Ableitungen und der Quotientenregel auskennen.
$f (x) = \frac{2 x + 1}{2 x - 1}$
Wende die Quotientenregel an.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2}{(2 x - 1)^{2}}$
↓
Vereinfachen.
$=$ $\frac{2 \cdot (2 x - 1 - 2 x - 1)}{(2 x - 1)^{2}}$
$=$ $- \frac{4}{(2 x - 1)^{2}}$
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$f (x) = \frac{2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Um diese Aufgabe lösen zu können solltest du Ableitungen beherrschen. Vor allem die Quotientenregel und die Kettenregel sind wichtig.
$f (x) = \frac{2 x + 1}{(2 x - 1)^{2}}$
Wende die Quotientenregel an. Wende zudem die Kettenregel auf ${(2 x - 1)}^{2}$ an.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{(2 x - 1)^{2} \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2 \cdot (2 x - 1) \cdot 2}{[(2 x - 1)^{2}]^{2}}$
↓
$(2 x - 1)$ ausklammern.
$=$ $\frac{(2 x - 1) \cdot [2 \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x + 1)]}{(2 x - 1)^{4}}$
$=$ $\frac{4 x - 2 - 8 x - 4}{(2 x - 1)^{3}}$
$=$ $\frac{- 4 x - 6}{(2 x - 1)^{3}}$
$=$ $- \frac{2 \cdot (2 x + 3)}{(2 x - 1)^{3}}$
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$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{5}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Zum Lösen dieser Aufgabe ist es hilfreich Ableitungen und Quotientenregel zu können.
$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{5}}$
Wende die Quotientenregel an.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{x^{5} \cdot 2 - (2 x + 3) \cdot 5 x^{4}}{(x^{5})^{2}}$
↓
Vereinfachen.
$=$ $\frac{2 x^{5} - 10 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
$=$ $\frac{- 8 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
$=$ $\frac{x^{4} \cdot (- 8 x - 15)}{x^{10}}$
↓
Faktorisiere.
$=$ $- \frac{8 x + 15}{x^{6}}$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(2 x + 2) \cdot 2 x - x^{2} \cdot 2}{(2 x + 2)^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{4 x^{2} + 4 x - 2 x^{2}}{(2 x + 2)^{2}}$
	$=$	$\frac{2 x^{2} + 4 x}{[2 (x + 1)]^{2}}$
	$=$	$\frac{2 x \cdot (x + 2)}{4 \cdot (x + 1)^{2}}$
	$=$	$\frac{x \cdot (x + 2)}{2 \cdot (x + 1)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(3 x - 2) \cdot 0 - 4 \cdot 3}{(3 x - 2)^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$- \frac{12}{(3 x - 2)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(2 x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2}{(2 x - 1)^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{2 \cdot (2 x - 1 - 2 x - 1)}{(2 x - 1)^{2}}$
	$=$	$- \frac{4}{(2 x - 1)^{2}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{(2 x - 1)^{2} \cdot 2 - (2 x + 1) \cdot 2 \cdot (2 x - 1) \cdot 2}{[(2 x - 1)^{2}]^{2}}$
	↓	$(2 x - 1)$ ausklammern.
	$=$	$\frac{(2 x - 1) \cdot [2 \cdot (2 x - 1) - 4 \cdot (2 x + 1)]}{(2 x - 1)^{4}}$
	$=$	$\frac{4 x - 2 - 8 x - 4}{(2 x - 1)^{3}}$
	$=$	$\frac{- 4 x - 6}{(2 x - 1)^{3}}$
	$=$	$- \frac{2 \cdot (2 x + 3)}{(2 x - 1)^{3}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{x^{5} \cdot 2 - (2 x + 3) \cdot 5 x^{4}}{(x^{5})^{2}}$
	↓	Vereinfachen.
	$=$	$\frac{2 x^{5} - 10 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
	$=$	$\frac{- 8 x^{5} - 15 x^{4}}{x^{10}}$
	$=$	$\frac{x^{4} \cdot (- 8 x - 15)}{x^{10}}$
	↓	Faktorisiere.
	$=$	$- \frac{8 x + 15}{x^{6}}$

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