Ein Tempel soll restauriert werden, da er ziemlich verfallen ist. Im Rahmen der Sanierungsarbeiten soll er auch einen neuen Anstrich bekommen.
Die Maße des Tempels kannst du aus dem Bild unten entnehmen.
Zusätzlich gibt dir der Bauleiter folgende Informationen:
Die Länge des Tempels ist insgesamt 90m, die in drei gleich lange Teilstücke aufgeteilt sind.
Auf der Rückseite befinden sich 9 Säulen, an jeder Breitseite jeweils 5 und vorne insgesamt 10.
Der Boden mit der Treppenstufe muss nicht saniert werden
Berechne, für wie viel Fläche die Farbe reichen muss, wenn nur die Säulen gestrichen werden sollen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder
Berechnung der Mantelfläche einer Säule
Die zu streichende Fläche einer Säule berechnest du über die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Zylinders:
U ist der Umfang der Säule und h die Höhe.
In der Angabe siehst du, dass die Säule einen Durchmesser d von 3m hat. Du kannst damit den Umfang berechnen:
Setze die Werte in die Formel oben ein.
MSa¨ule = U⋅h ↓ Setze U=d⋅π ein.
= d⋅π⋅h ↓ Setze d=3 m und h=20 m ein.
= 3m⋅π⋅20m = 60 π m2 ≈ 188,50 m2 Jetzt hast du den Mantel einer Säule. Du brauchst aber 25 Säulen.
Berechnung der Mantelfläche aller Säulen
MSa¨ulen = 25⋅MSa¨ule ↓ Rechne mit dem ungerundeten Wert und setze MSa¨ule=60πm2.
= 25⋅60 πm2 = 1500πm2 = 4712,39 m2 Die Farbe muss für 4712,39m2 reichen.
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Zuerst musst du überlegen, wie viele Säulen der Tempel hat. Die Angabe sagt dir, dass auf der Rückseite 9, auf der Vorderseite 10 und an jeder Breitseite jeweils 5 Säulen sind. Das Problem ist jetzt, dass die Ecksäulen nicht doppelt gezählt werden dürfen.
Du darfst also nur 3 Säulen auf jeder Breitseite zählen und die Vorder- und Rückseite. Insgesamt sind es also 3+3+9+10=25.
Dann musst du dir überlegen, welche Figur eine Säule ist, nämlich ein Zylinder. Du musst also die Zylinderoberfläche von den 25 Säulen ausrechnen. Allerdings brauchst du dazu nur die Mantelfläche, da der "Boden" und der "Deckel" nicht gestrichen werden können.
Das Dach bekommt einen wasserfesten Anstrich. Dazu wird alles gestrichen, was vom Regen erreicht werden kann, das heißt alles außer die Unterseite des Daches.
Berechne, für wie viel Fläche die wasserfeste Farbe reichen muss.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberflächenformeln von Körpern
Oberfläche der Seitendächer
Die Seitendächer sind Quader, dessen Oberfläche du so berechnen kannst:
(l: Länge des Quaders, b: Breite des Quaders, h: Höhe des Quaders)
Überlege dir jetzt, welche Seiten wirklich gestrichen werden müssen. Du brauchst nur eine l⋅b Seite und nur eine l⋅h Seite und zwei b⋅h Seiten.
OSeitendach = l⋅b+l⋅h+2⋅b⋅h ↓ Setze die gegebenen Werte ein: l=90m:3=30m,h=50m,h=5m
= 30m⋅50m+50m⋅5m+2⋅30m⋅5m = 2050m2 Das ganze brauchst du zwei mal, da es zwei Seitendächer gibt.
Oberfläche Mittelteil
Zur Oberfläche vom Mittelteil gelangst du, indem du
die zwei Seiten vom Spitzdach
die Vorder und Rückseite, die sich aus Rechteck und Dreieck zusammensetzen
die zwei Seitenflächen vom Vordach
ausrechnest. A bezeichnet hier immer die Fläche.
Die Seitenflächen brauchst du zweimal. Die Länge ist 60m. Aber wie lang ist die Breite?
Berechnung der Breite des Seitendachs
Betrachte dazu das Dreieck, das du auf der Vorderseite siehst. Aus diesem musst du jetzt die fehlende Länge ausrechnen. Dies machst du mit dem Satz des Pythagoras.
Wie kommst du jetzt auf die fehlende Strecke?
h2+c2=b2 ⇒ b=h2+c2.
Setze die Werte ein.
b = h2+c2 ↓ Setze h=10m und c=30m:2=15m ein.
= (10m)2+(15m)2 = 100m2+225m2 = 325m2 ↓ Zerlege 325 in seine Primfaktoren um teilweise zu radizieren.
= 5⋅5⋅13m ↓ = 513m Mit dieser Breite kannst du jetzt weiter rechnen.
Berechnung der Fläche der Oberseite des Spitzdachs
ASpitzdach Oberseite = 2⋅l⋅b ↓ Die Breite hast du gerade ausgerechnet und die Länge ist 60m.
= 2⋅60m⋅513m ≈ 2163,33m2 Berechnung der Oberfläche des Spitzdachs vorne
Wie geht die Flächenformel für Dreiecke? Jetzt benötigst du aber wieder ein anderes Dreieck, nämlich das, was du auf der Vorderseite des Daches siehst.
ASpitzdach Vorderseite = ADreieck+ARechteck ↓ Die Fläche des Dreiecks bestimmst du mithilfe der Höhe h und die Länge der Grundseite g.
= 21⋅g⋅h+l⋅b ↓ Setze die gegebenen Werte ein: g=30m,h=10m,l=30m und b=5m.
= 21⋅30m⋅10m+30m⋅5m ↓ Berechne.
= 300m2 Da es sowohl eine Vorder- als auch eine Rückseite gibt, die den gleichen Flächeninhalt haben, kannst du die Fläche mal 2 nehmen.
Jetzt fehlen noch zwei kleine Seiten vom Vordach, mit der Länge 10m und Breite 5m.
ASeitenfla¨chen = 2⋅l⋅b ↓ Setze die gegebenen Werte ein: l=10m und b=5m
= 2⋅10m⋅5m = 100m2 Gesamtfläche Dach
Setze die Werte ein. Am besten die genauen, ungerundeten Werte, ansonsten auf zwei Nachkommastellen gerundet.
Es wird also insgesamt so viel Farbe benötigt, dass sie für eine Fläche von 6963,33m2 reicht.
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Aus welchen Figuren und Flächen besteht das Dach?
Die beiden "Seitendächer" sind Quader.
In der Mitte siehst du vielleicht ein Prisma. Es ist aber leichter und weniger aufwendig, sich die einzelnen Flächen des Prismas anzuschauen, als die Oberfläche.
Du teilst also deine Rechenschritte auf. Hier beginnt die Lösung mit den Seitenteilen, die aus Quadern bestehen.
Wie viele 10l Eimer Farbe werden für den ganzen Tempel benötigt, wenn ein Liter für 7m2 reicht.
Oberfläche Tempel insgesamt
Ogesamt = ODach+OSa¨ulen ↓ Setze die Werte aus Teilaufgabe a) und b) ein.
≈ 6963,33m2+4712,39m2 = 11675,72m2 Wie viele Liter sind das?
Nenne die Anzahl der Liter x. Schaue dir jetzt noch einmal die Angabe an. Es heißt: "1l reicht für 7m2". Was sagt dir das?
Das bedeutet, dass man 7m2 mit einem Liter Farbe streichen kann. Du musst nun also OGesamt durch 7 teilen, um die benötigte Menge an Farbe x zu bestimmen.
x = Ogesamt:7lm2 ↓ Setze OGesamt ein.
= 11675,72m2:7lm2 = 1667,96l Es werden also 1667,96 Liter benötigt.
Wie viele Eimer sind das?
Berechne nun die Anzahl e der Eimer. In einem Eimer sind 10l Farbe.
e = 10lx ↓ Setze x ein.
= 10l1667,96l = 166,796 Es werden also 166,796 Eimer benötigt. Da man nur ganze Eimer kaufen kann, musst du immer aufrunden.
Antwort: Es werden 167 Eimer Farbe benötigt.
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Zuerst musst du die Teilaufgaben a) und b) anschauen und zusammenrechnen, wie viel Quadratmeter Oberfläche du insgesamt ausgerechnet hast. Als nächstes musst du die Quadratmeter durch 7 teilen, um zu wissen, wie viele Liter du benötigst und anschließend nochmal durch 10 teilen, um die Anzahl der Eimer heraus zu finden.
