3Lösung 1e

Aufgabenstellung

$1$ In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte $A(6|3|3)$, $B(3|6|3)$ und $C(3|3|6)$ das gleichseitige Dreieck $ABC$ fest. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck $ABC$ liegt, in Normalform.

Spiegelt man die Punkte $A$, $B$ und $C$ am Symmetriezentrum $Z(3|3|3)$, so erhält man die Punkte $A'$, $B'$ bzw. $C'$.

b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte $A$, $B$ und $Z$ liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke $[CC']$ senkrecht auf diese Ebene steht.

c) Begründen Sie, dass das Viereck $ABA' B'$ ein Quadrat mit der Seitenlänge$3\sqrt 2$ ist.

Der Körper $ABA'B'CC'$ ist ein sogenanntesOktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mitdem Quadrat $ABA' B'$ als gemeinsamer Grundflächeund den Pyramidenspitzen $C$ bzw. $C'$.

d) Weisen Sie nach, dass das Oktaederdas Volumen $36$ besitzt.

e) Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen $ABC$ und $AC'B$ .

Lösung

Die Dreiecke $ABC$ und $AC'B$ liegen in eindeutig festgelegten Ebenen. Berechne den Winkel zwischen diesen beiden Ebenen.

Berechne die Normalenvektoren der Ebenen

Ebene $E$ durch $ABC$ aus Teilaufgabe a):

$E: x_1+x_2+x_3-12=0$

$\overrightarrow{n_E}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$

Ebene $F$ durch $AC'B$:

$A(6|3|3)$, $B(3|6|3)$, $C'(3|3|0)$

Stelle die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC'}$ auf.

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3-6\\6-3\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\3\\0\end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC'}=\begin{pmatrix} 3-6\\3-3\\0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\\0\\-3\end{pmatrix}$

Bilde das Vektorprodukt.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\begin{pmatrix} -3\\3\\0 \end{pmatrix}&\times&\begin{pmatrix} -3\\0\\-3\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} -9\\-9\\9\end{pmatrix} &=& -9\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}\\ \Rightarrow\overrightarrow{n_F}&=&\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}\end{array}$

Berechne den Winkel mit

$cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{n_E}\circ\overrightarrow{n_F}}{|\overrightarrow{n_E}| \cdot |\overrightarrow{n_F}|}$.

$cos(\alpha)=\frac{1\cdot 1 +1\cdot 1+1 \cdot (-1)}{\sqrt{\vphantom{(-1)^2}1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow\alpha =70{,}53^\circ$

Der Winkel beträgt also $70{,}53^\circ$.