Wenn die Handelskette ein Smartphone verkauft, ist es entweder von Typ Y3 oder Typ Y4. Es handelt sich also um ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ergebnissen. Wir definieren die Zufallsgröße $X$ als "Gewinn bei einem verkauften Smartphone in Euro". $X$ ordnet also jedem Ergebnis eine Zahl zu, den beim Verkauf erzielten Gewinn.

Die Handelskette möchte "voraussichtlich […] im Mittel" einen Gewinn von 97 € pro verkauftem Smartphone erzielen. Dieser voraussichtliche durchschnittliche Gewinn entspricht dem Erwartungswert von $X$, $E(X)$.

Verkauft die Handelskette ein Smartphone vom Typ Y3, macht sie einen Gewinn von 199 € - 250 € = -51 €. Sie verkauft für 199 €, musste aber im Einkauf 250 € bezahlen. Ingesamt erzielt sie einen negativen Gewinn, macht also einen Verlust. X nimmt den Wert -51 an. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Smarpthone von Typ Y3 verkauft wird, ist gegeben als 26 %, also 0,26.

Verkauft die Handelskette ein Smartphone vom Typ Y4, macht sie einen Gewinn von p € - 300 €, wenn $p$ der gesuchte Verkaufspreis ist. X nimmt den Wert p-300 an. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Smartphone vom Typ Y4 verkauft wird, ist die Gegenwahrscheinleichkeit der Wahrscheinlichkeit, dass ein Smartphone vom Typ 3 verkauft wird. Sie liegt also bei 1 - 0,26 = 0,74.

Stelle nun mit allen Informationen eine Gleichung auf und forme nach p um:

$\begin{array}{crcl}& E\left(X\right)& =& 97\\ \iff & \mathrm{0,26}\cdot (199-250)+(1-\mathrm{0,26})\cdot (p-300)& =& 97\\ \iff & \mathrm{0,26}\cdot (-51)+\left(\mathrm{0,74}\right)\cdot (p-300)& =& 97\\ \iff & \mathrm{0,74}\cdot p& =& 97+\mathrm{0,26}\cdot 51+\mathrm{0,74}\cdot 300\\ \iff & p& =& \frac{97+\mathrm{0,26}\cdot 51+\mathrm{0,74}\cdot 300}{\mathrm{0,74}}\\ \iff & p& =& 449\end{array}$

Antwort:Die Handelskette muss das Smartphone vom Typ Y4 zu einem Preis von 449 € anbieten, damit sie voraussichtlich pro verkauftem Smartphone der Modelle Y3 und Y4 im Mittel 97€ mehr erhält, als sie beim Einkauf dafür zahlen musste.