Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Der Ausdruck "mindestens eines von zwei Ereignissen" steht für die Vereinigung der zwei Ereignisse. Also ist das Ereignis $E$ gleich der Vereinigungsmenge der Ereignisse $M$ und $S$: $M \cup S$

Du kannst dir das Ereignis $E$ auch so vorstellen: Es tritt in genau drei Fällen ein:

1. Wenn sowohl das Ereignis $M$ als auch das Ereignis $S$ eintreten: $(M \cap S)$

2. Wenn das Ereignis $M$ eintritt und das Ereignis $S$ nicht eintritt: $(M \cap \overline S)$

3. Wenn das Ereignis $M$ nicht eintritt und das Ereignis $S$ eintritt: $(\overline M \cap S)$

Die Vereinigung dieser drei Fälle ist: $(M\cap S)\cup (M\cap \overline{S})\cup (\overline{M}\cap S)$

Antwort: Die Mengen $\textbf{II}$ und $\textbf{V}$ beschreiben das Ereignis $E$.

Bei $p_1$ und $p_2$ handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Du bist sicher, dass ein Ereignis eigetreten ist ("wenn bekannt ist"). Unter dieser Bedingung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweites Ereignis eintritt.

Bei $p_1$ weißt du, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist (Ereignis $S$). Unter dieser Bedingung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt (Ereignis $M$).

Diese bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht einem Bruch. Du teilst die Wahrscheinlichkeit $P \left( M \cap S \right)$, dass beide Ereignisse eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit $P \left( S \right)$, dass das angenommene Ereignis eintritt.

Das heißt:

$p_1 = P_s(M)=\frac{P \left( M \cap S \right)}{P \left( S\right)}$

Bei $p_2$ gehst du entsprechend vor: Du weißt, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt (Ereignis $M$). Unter dieser Bedingung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist (Ereignis $S$).

Diese bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht einem Bruch. Du teilst die Wahrscheinlichkeit $P \left( S \cap M \right)$, dass beide Ereignisse eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit $P \left( M \right)$, dass das angenommene Ereignis eintritt.

Das heißt:

$p_2 =P_M(S)= \frac{P \left( S \cap M \right)}{P \left( M\right)}$

Du musst also zwei Brüche miteinander vergleichen. Es gilt:

$P \left( M \cap S \right) = P \left( S \cap M \right)$

Beide Brüche haben also den gleichen Zähler. Entscheidend sind folglich die Nenner. Das erste Kreisdiagramm zeigt, dass $24\ \%$ der über 14-Jährigen in Deutschland 65 Jahre alt oder älter sind. Also tritt Ereignis $S$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}24$ ein.

Das zweite Kreisdiagramm zeigt, dass $90\ \%$ der über 14-Jährigen in Deutschland ein Mobiltelefon besitzen. Also tritt Ereignis $M$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}9$ ein.

Der Nenner des ersten Bruchs ist also kleiner als der Nenner des zweiten Bruchs. Die Zähler der beiden Brüche sind gleich. Das bedeutet, dass der erste Bruch größer als der zweite Bruch ist.

Antwort: $p_1$ ist größer als $p_2$.

Du musst eine Vierfeldertafel erstellen. Du siehst erst das Ergebnis und dann die Herleitung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P \left( \overline S \right) & = 1 - P (S) \\ & = 1- 0{,}24 \\ & = 0{,}76 \end{aligned}$

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich $1$ minus die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.

Wir können uns die Situtation als Bernoulli-Kette vorstellen. Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal voneinander unabhängig wiederholt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Versuchsausgängen (= Ergebnissen). Die zu einer Bernoulli-Kette gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung.

Wir definieren die Zufallsgröße $X$ als "Anzahl der Senioren im Publikum mit Handy". Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens 17 und höchstens 23 Senioren im Publikum ein Handy besitzen. Definiere das Ereignis $A$: "mindestens 17 und höchstens 23 Senioren im Publikum besitzen ein Handy". Die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ eintritt, entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert von mindestens 17 und höchstens 23 annimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ einen Wert zwischen zwei Zahlen annimmt, lässt sich nach dem Merksatz ”Obere Grenze minus die um 1 verkleinerte untere Grenze“ bestimmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass $X$ maximal einen bestimmten Wert annimmt, entspricht dem Wert der Verteilungsfunktion an dieser Stelle. Da $X$ bernoulliverteilt ist, verwenden wir die Verteilungsfunktion der Bernoulliverteilung. Die benötigten Werte dieser Verteilungsfunktion kannst du im Tafelwerk der Stochastik nachsehen.In Formeln:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P \left( A \right) &= P \left( 17 \leq X \leq 23\right) \\ &= P \left( X \leq 23 \right) - P\left( X \leq 16 \right)\\ &= F _{\frac{2}{3}}^{30} \left( X \leq 23 \right) - F _\frac{2}{3} ^{30} \left( X \leq 16 \right) \\ &= \sum_{i=0}^{23} B \left( 30; \frac{2} {3}; i\right) - \sum _{i=0}^{16} B \left( 30; \frac{2}{3}; i \right) \\ &= 0{,}91616−0{,}08977 \\ & \approx 82{,}6 \% \end{aligned}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren in Deutschland mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen, beträgt ca. $82{,}6\ \%$.

Wir können uns die Situation als Urnenmodell mit Ziehen ohne Zurücklegen vorstellen. In der Urne befinden sich 30 Kugeln (30 Senioren im Publikum). Davon sind 24 schwarz (24 der Senioren im Publikum besitzen ein Mobiltelefon). Nun werden aus der Urne 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen (3 Senioren werden zufällig ausgewählt). Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 Kugeln schwarz (genau 2 der 3 Senioren besitzen ein Handy) können wir mit der Formel aus der Merkhilfe bestimmen:

$P\left(\text{"genau k schwarze Kugeln"}\right)=\frac{\binom{n}{k}\binom{N-n}{K-k}}{\binom{N}{K}}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P \left( X=2\right) &= \frac { \binom{24}{2} \binom{30-24}{3-2} } { \binom{30}{3} }\\ &= \frac { \binom{24}{2} \binom{6}{1} } { \binom{30}{3} } \\ &\approx 40{,}8 \% \end{aligned}$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei ausgewählten Senioren ein Mobiltelefon besitzen, beträgt ca. $40{,}8\ \%$.