Der Ausdruck "mindestens eines von zwei Ereignissen" steht für die Vereinigung der zwei Ereignisse. Also ist das Ereignis $E$ gleich der Vereinigungsmenge der Ereignisse $M$ und $S$: $M \cup S$

Du kannst dir das Ereignis $E$ auch so vorstellen: Es tritt in genau drei Fällen ein:

1. Wenn sowohl das Ereignis $M$ als auch das Ereignis $S$ eintreten: $(M \cap S)$

2. Wenn das Ereignis $M$ eintritt und das Ereignis $S$ nicht eintritt: $(M \cap \overline S)$

3. Wenn das Ereignis $M$ nicht eintritt und das Ereignis $S$ eintritt: $(\overline M \cap S)$

Die Vereinigung dieser drei Fälle ist: $(M\cap S)\cup (M\cap \overline{S})\cup (\overline{M}\cap S)$

Antwort: Die Mengen $\textbf{II}$ und $\textbf{V}$ beschreiben das Ereignis $E$.

Bei $p_1$ und $p_2$ handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Du bist sicher, dass ein Ereignis eigetreten ist ("wenn bekannt ist"). Unter dieser Bedingung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweites Ereignis eintritt.

Bei $p_1$ weißt du, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist (Ereignis $S$). Unter dieser Bedingung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt (Ereignis $M$).

Diese bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht einem Bruch. Du teilst die Wahrscheinlichkeit $P \left( M \cap S \right)$, dass beide Ereignisse eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit $P \left( S \right)$, dass das angenommene Ereignis eintritt.

Das heißt:

$p_1 = P_s(M)=\frac{P \left( M \cap S \right)}{P \left( S\right)}$

Bei $p_2$ gehst du entsprechend vor: Du weißt, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt (Ereignis $M$). Unter dieser Bedingung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist (Ereignis $S$).

Diese bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht einem Bruch. Du teilst die Wahrscheinlichkeit $P \left( S \cap M \right)$, dass beide Ereignisse eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit $P \left( M \right)$, dass das angenommene Ereignis eintritt.

Das heißt:

$p_2 =P_M(S)= \frac{P \left( S \cap M \right)}{P \left( M\right)}$

Du musst also zwei Brüche miteinander vergleichen. Es gilt:

$P \left( M \cap S \right) = P \left( S \cap M \right)$

Beide Brüche haben also den gleichen Zähler. Entscheidend sind folglich die Nenner. Das erste Kreisdiagramm zeigt, dass $24\ \%$ der über 14-Jährigen in Deutschland 65 Jahre alt oder älter sind. Also tritt Ereignis $S$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}24$ ein.

Das zweite Kreisdiagramm zeigt, dass $90\ \%$ der über 14-Jährigen in Deutschland ein Mobiltelefon besitzen. Also tritt Ereignis $M$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}9$ ein.

Der Nenner des ersten Bruchs ist also kleiner als der Nenner des zweiten Bruchs. Die Zähler der beiden Brüche sind gleich. Das bedeutet, dass der erste Bruch größer als der zweite Bruch ist.

Antwort: $p_1$ ist größer als $p_2$.

Du musst eine Vierfeldertafel erstellen. Du siehst erst das Ergebnis und dann die Herleitung:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P \left( \overline S \right) & = 1 - P (S) \\ & = 1- 0{,}24 \\ & = 0{,}76 \end{aligned}$

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich $1$ minus die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.