Aufgaben zum Verständnis des Grenzwertbegriffs

Sieh dir den dargestellten Graphen an: Welchen Wert vermutest du aufgrund der Abbildung für

den Grenzwert für $x\rightarrow -\infty$ ?
den Grenzwert für $x\rightarrow +\infty$ ?
den Grenzwert bei Annäherung von links an die Definitionslücke?
den Grenzwert bei Annäherung von rechts an die Definitionslücke?

Bezeichne die Funktion mit $f$ und verwende eine korrekte mathematische Schreibweise mit dem Limes (also z. B. $\underset{x\rightarrow -\infty}{\lim}f(x)=\, …$ bei Teilaufgabe 1 usw.).

(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist natürlich bei $x=-1$ .)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen
Teilaufgabe 1:
Grenzwert für $x\rightarrow -\infty$ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am linken Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert $y=2$ annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x\rightarrow -\infty$ gleich 2 ist.
Ergebnis: $\underset{x\rightarrow -\infty}{\lim}f(x)=2$
Teilaufgabe 2:
Grenzwert für $x\rightarrow +\infty$ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am rechten Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert $y=2$ annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x\rightarrow +\infty$ gleich 2 ist.
Ergebnis: $\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}f(x)=2$
Teilaufgabe 3:
Grenzwert für $x\rightarrow -1^-$ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der linken Seite her an $x=-1$ annähert: Du erkennst, dass die Werte immer größer werden und kein Ende nach oben erkennbar ist.
Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x\rightarrow -1^-$ gleich $+\infty$ ist.
Ergebnis: $\underset{x\rightarrow -1^-}{\lim}f(x)=\infty$
Teilaufgabe 4:
Grenzwert für $x\rightarrow -1^+$ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der rechten Seite her an $x=-1$ annähert: Du erkennst, dass die Werte immer kleiner werden und kein Ende nach unten erkennbar ist.
Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x\rightarrow -1^+$ gleich $-\infty$ ist.
Ergebnis: $\underset{x\rightarrow -1^+}{\lim}f(x)=-\infty$
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(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist natürlich bei $x=-1$ .)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbetrachtungen
Teilaufgabe 1:
Grenzwert für $x→−∞$ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am linken Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert $y=2$ annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x→−∞$ gleich $2$ ist.
Ergebnis: $\underset{x\rightarrow -\infty}{\lim}f(x)=2$
Teilaufgabe 2:
Grenzwert für $x→+∞$ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion am rechten Rand des Bildes annimmt: Du erkennst, dass sie sich an den Wert $y=2$ annähern. Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x→+∞$ gleich $2$ ist.
Ergebnis: $\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}f(x)=2$
Teilaufgabe 3:
Grenzwert für $x\rightarrow -1^-$ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der linken Seite her an $x=−1$ annähert: Du erkennst, dass die Werte immer kleiner werden und kein Ende nach unten erkennbar ist.
Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für Grenzwert für Grenzwert für $x\rightarrow -1^-$ gleich $−∞$ ist
Ergebnis: $\underset{x\rightarrow -1^-}{\lim}f(x)=-\infty$
Teilaufgabe 4:
Grenzwert für $x\rightarrow -1^+$ ?
Sieh dir die y-Werte an, die die Funktion annimmt, wenn man sich von der rechten Seite her an $x=−1$ annähert: Du erkennst, dass die Werte immer größer werden und kein Ende nach oben erkennbar ist.
Daher kannst du aus dem Bild vermuten, dass der Grenzwert für $x\rightarrow -1^+$ gleich $+∞$ ist.
Ergebnis: $\underset{x\rightarrow -1^+}{\lim}f(x)=\infty$
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(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist bei $x=2{,}5$ .)

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(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist natürlich bei $x=-2$ .)

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(Anmerkung und Hilfe: Die Definitionslücke von $f$ ist bei $x=1{,}5$ .)
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Deine Lösung kommt dann zunächst einmal in einen speziellen Bereich, wo sie von einem Team- oder erfahrenen Community-Mitglied geprüft wird, ehe sie - wenn sie für richtig befunden wird - online gestellt wird.
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