Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion:
f(x)=(1âx)â ln(1âx1â) ; Dfâ=Dmaxâ
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ln - Funktion
DefinitionslĂŒcke des Bruchs
DefinitionslĂŒcke bei: x=0
DefinitionslĂŒcken des Logarithmus
f(x)=(1âx)â ln(1âx1â)
Der Logarithmus muss immer gröĂer als 0 sein.
1âx1â1â>>â0x1ââââŁâŁâ+x1ââ xâ
Nun musst du eine Fallunterscheidung machen fĂŒr x gröĂer oder kleiner Null:
Fall x>0 âxâ>â1â
Fall x<0 âxâ<â1â und strenger noch nach Annahme âxâ<â0â
âDfâ=R\[0;1]
Nullstellen
Nun musst du die Nullstellen bestimmen. Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Also wird die erste gleich Klammer 0 gesetzt.
1 â x | = | 0 | + x |
x | = | 1 |
â kein Element des Definitionsbereich, daher keine Nullstelle .
Nun wird die zweite Klammer gleich 0 gesetzt.
ln(1âx1â) | = | 0 |
Der ln ist 0, wenn das Innere der Klammer gleich 1 ist.
â Da der Bruch nie gleich 0 sein kann, gibt es keine Nullstelle fĂŒr ln(1âx1â) .
1. Ableitung:
f(x)=(1âx)â ln(1âx1â)
Da es sich um ein Produkt handelt, kann hier die Produktregel angewandt werden. Dazu u=(1âx) und v=ln(1âx1â) getrennt ableiten.
FĂŒr v muss mit der Ableitung vom Inneren des ln nachdifferenziert werden.
uâČ | = | â1 |
vâČ | = | 1âx1â1ââ x21â | |
â | Terme multiplizieren | ||
= | x2âx1â |
Nun kann die Produktregel angewendet werden.
fâČ(x) | = | â1â ln(1âx1â)+(1âx)â x2âx1â | |
â | Die hinteren beiden Terme multiplizieren | ||
= | âln(1âx1â)+x2âx1âxâ | ||
â | Im ZĂ€hler -1 und im Nenner x ausklammern | ||
= | âln(1âx1â)âx(xâ1)xâ1â | ||
â | (xâ1) kĂŒrzen | ||
= | âln(1âx1â)âx1â |
2. Ableitung:
Als erstes den Term der ersten Ableitung in eine geeignetere Form bringen.
fâČ(x) | = | âln(1âx1â)âx1â | |
â | Im ln 1 mit x erweitern und dann davon x1â subtrahieren | ||
= | âln(xxâ1â)âx1â |
fâČ(x) ableiten:
Den ln mit der Kettenregel ableiten und dabei fĂŒr das Nachdifferenzieren die Quotientenregel verwenden, wobei gilt: uâ=1,vâ=1 . Im Anschluss x1â ebenfalls mit der Quotientenregel ableiten, wobei gilt: uâČ=0, vâČ=1.
fââ(x) | = | â(xâ1xââ x21â xâ(xâ1)â 1â)+x21â | |
â | In der Klammer mit x kĂŒrzen und dann multiplizieren. | ||
= | âx2âxxâ(xâ1)â+x21â | ||
â | Ersten ZĂ€hler vereinfachen und im Nenner x ausklammern. | ||
= | âxâ (xâ1)1â+x21â | ||
â | Alle BrĂŒche auf den Hauptnenner x2â (xâ1) erweitern. | ||
= | âx2â (xâ1)xâ+x2â (xâ1)(xâ1)â | ||
â | BrĂŒche addieren. | ||
= | âx2â (xâ1)1â |