Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen

Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion:

$f(x)=(1-x)\cdot \ln(1-\frac1x)$ ; $D_f = D_{\text{max}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: ln - Funktion

Definitionslücke des Bruchs

$f(x)=(1-x)\cdot \ln{(1-\frac{1}{x})}$

Der Nenner des Bruches darf nicht gleich 0 werden.

Definitionslücke bei: $x = 0$

Definitionslücken des Logarithmus

$f(x)=(1-x)\cdot \ln{(1-\frac{1}{x})}$

Der Logarithmus muss immer größer als 0 sein.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rclllll} 1-\dfrac{1}{x}&>&0 &&|&+\dfrac1x \\\\1&>&\dfrac1x &&|&\cdot x \end{array}$

Nun musst du eine Fallunterscheidung machen für x größer oder kleiner Null:

Fall $x > 0$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rclllll} &x&>&{\textstyle1} \end{array}$
Fall $x < 0$ $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rclllll} &x&<&{\textstyle1} \end{array}$ und strenger noch nach Annahme $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rclllll} &x&<&{\textstyle0} \end{array}$

$\;\;\Rightarrow\;\;D_f=\mathbb{R}\;\backslash\;\left[0\;;\;1\right]$

Nullstellen

Nun musst du die Nullstellen bestimmen. Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

Also wird die erste gleich Klammer 0 gesetzt.

$\displaystyle 1\ -\ x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\ x$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ kein Element des Definitionsbereich, daher keine Nullstelle .

Nun wird die zweite Klammer gleich 0 gesetzt.

\displaystyle \ln(1-\frac{1}{x})

=

\displaystyle 0

Der ln ist 0, wenn das Innere der Klammer gleich 1 ist.

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da der Bruch nie gleich 0 sein kann, gibt es keine Nullstelle für $\ln\left(1-\frac1x\right)$ .

Also besitzt die Funktion $f$ keine Nullstelle.

Ableitung

Nun musst du die Ableitungen ausrechnen

1. Ableitung:

$f(x)=\left(1-x\right)\cdot\ln\left(1-\frac1x\right)$

Da es sich um ein Produkt handelt, kann hier die Produktregel angewandt werden. Dazu $u = (1 - x)$ und $v= \ln{(1 - \frac{1}{x})}$ getrennt ableiten.

Für $v$ muss mit der Ableitung vom Inneren des $\ln$ nachdifferenziert werden.

\displaystyle u'

=

\displaystyle -1

$\displaystyle v'$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{x}}\cdot\frac{1}{x^2}$
	↓	Terme multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{x^2-x}$

Nun kann die Produktregel angewendet werden.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\left(1-x\right)\cdot\frac{1}{x^2-x}$
	↓	Die hinteren beiden Terme multiplizieren
	$=$	$\displaystyle -\ln{(1 - \frac{1}{x})} + \frac{1-x}{x^2 - x}$
	↓	Im Zähler -1 und im Nenner x ausklammern
	$=$	$\displaystyle -\ln{(1-\frac{1}{x})} - \frac{x-1}{x(x-1)}$
	↓	$(x - 1)$ kürzen
	$=$	$\displaystyle - \ln{(1 - \frac{1}{x})} - \frac{1}{x}$

2. Ableitung:

Als erstes den Term der ersten Ableitung in eine geeignetere Form bringen.

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle -\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}$
	↓	Im ln 1 mit x erweitern und dann davon $\frac1x$ subtrahieren
	$=$	$\displaystyle -\ln(\frac{x-1}{x})-\frac{1}{x}$

$f^{'} (x)$ ableiten:

Den ln mit der Kettenregel ableiten und dabei für das Nachdifferenzieren die Quotientenregel verwenden, wobei gilt: $u`=1,\;v`=1$ . Im Anschluss $\frac{1}{x}$ ebenfalls mit der Quotientenregel ableiten, wobei gilt: $u^{'} = 0,$ $v^{'} = 1$ .

$\displaystyle f``(x)$	$=$	$\displaystyle -(\frac{x}{x-1}\cdot\frac{1\cdot x-(x-1)\cdot1}{x^2})+\frac{1}{x^2}$
	↓	In der Klammer mit x kürzen und dann multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle -\frac{x-(x-1)}{x^2 - x} + \frac{1}{x^2}$
	↓	Ersten Zähler vereinfachen und im Nenner x ausklammern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{x\cdot (x-1)} + \frac{1}{x^2}$
	↓	Alle Brüche auf den Hauptnenner $x^2 \cdot (x-1)$ erweitern.
	$=$	$\displaystyle -\frac{x}{x^2\cdot(x-1)} + \frac{(x-1)}{x^2 \cdot (x-1)}$
	↓	Brüche addieren.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{x^2 \cdot (x-1)}$

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