Linearform

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Die Linearform ist eine der drei Darstellungsformen einer quadratischen Funktion :

• Scheitelpunktform $f\left(x\right)=a\cdot {(x-d)}^2+e$

• Normalform $f\left(x\right)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$

• Linear (bzw. Nullstellenform) $f\left(x\right)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_1)$

Aufbau der Linearform

Für die Linearform sind die Nullstellen sehr wichtig. Oben kannst du erkennen, dass auch der Öffnungsfaktor $a$ eine entscheidende Rolle spielt. Ausgehend von diesen Werten kannst du drei Fälle unterscheiden:

1.Fall: Zwei verschiedene Nullstellen

Die Funktion $f$ hat zwei veschiedene

Nullstellen $x_1$ und $x_2$.

Die Linearform lautet:

$f\left(x\right)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)$

Zum Funktionsgraph im Beispiel:

In der Graphik siehst du, dass $f$ Nullstellen bei $-2$ und $0$ hat.

Wie du den Öffnungsfaktor bestimmst, erfährst du weiter unten im Artikel. Hier ist der Öffnungsfaktor $a=1$.

Deswegen ist der Funktionsterm von $f$ in Linearform:

$f(x)=1\cdot (x-(-2))\cdot (x-0)=(x+2)\cdot x$.

2.Fall: Eine Nullstelle mit zweifacher Vielfachheit

Die Funktion $f$ hat eine

Nullstelle $x_1$ mit Vielfachheit $2$.

$x_1$ ist eine doppelte Nullstelle, und deshalb ist $x_1=x_2$. Du kannst also $x_1$ für $x_2$ einsetzen und :

$f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_1)=a\cdot (x-x1{)}^2$

Zum Funktionsgraph im Beispiel:

In der Graphik siehst du, dass $f$ eine doppelte Nullstelle bei $2$ hat. Der Öffnungsfaktor ist $a=1$.

Deswegen ist der Funktionsterm von $f$ in Nullstellenform:

$f(x)=1\cdot (x-2)\cdot (x-2)=(x-2{)}^2$.

3.Fall keine Nullstelle

Die Funktion $f$ hat keine Nullstelle.

Die Funktion $f$ hat keine Nullstellen.

Visualisierung

Der folgende Graph zeigt, wie sich die Nullstellen in Abhängigkeit von a, d und e verhalten.

Von der Normalform zur Linearform

1. Bestimme die Nullstelle

2. 3. Binomische Formel rückwärts anwenden

Bestimmung der Linearform

Zu einer gegebenen Funktionsgleichung in einer anderen Darstellungsform oder einem Graphen soll die Linearform bestimmt werden.

Das Vorgehen dabei sieht folgendermaßen aus:

1. Bestimme die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ und deren Vielfachheit

2. Bestimme den Öffnungsfaktor $a$

3. Setze in den passenden der oben genannten Fällen ein.

Das Beispiel behandelt, wie du die Funktionsgleichung von Scheitelpunktform in Linearform angibst.

Beispiel 1: Bestimmung aus Scheitelform