Histogramm

Bei statistischen Untersuchungen fallen Daten an. Je mehr Daten vorliegen, um so schwieriger ist es, den Überblick zu bekommen. Werden die Daten grafisch dargestellt, können unübersichtliche Datensätze besser veranschaulicht werden.

Die Daten werden geordnet, in Gruppen bzw. Klassen eingeteilt und in einem Diagramm dargestellt.

Solch eine grafische Darstellung wird Histogramm genannt.

Die folgende Übersicht zeigt verschiedene Arten von Histogrammen. Je ein Beispiel soll das entsprechende Histogramm verdeutlichten.

Vorgehensweise

Die Häufigkeitsverteilung eines bestimmten Merkmals liegt vor. So ein Merkmal kann z.B. die Körpergröße oder das Alter von Personen sein.

1. Klasseneinteilung

Mehrere Beobachtungswerte werden zu Klassen zusammengefasst. Die Klassen können eine konstante oder variable Breite haben. Für jede Klasse wird die Anzahl der Daten ermittelt, die in diese Klasse gehören.

Die Klassengrenzen dürfen sich nicht überschneiden.
Die Klassenbreite ist die Differenz zwischen oberer und unterer Klassengrenze.
Die Randklassen sind nicht offen, d.h. die erste und letzte Klasse haben eine untere bzw. obere Grenze.

2. Grafische Darstellung

Auf der $1.$ Achse werden die Intervalle entsprechend der Klasseneinteilung aufgetragen. Dann werden Rechtecke über den Intervallen gezeichnet.

Für die Rechteckhöhe ergeben sich je nach gewählter Histogrammart unterschiedliche Werte.

Sind die Klassen benachbart, dann grenzen die Rechtecke aneinander.

Den folgenden Beispielen liegt folgender Datensatz zugrunde.

Bei der Einschulungsuntersuchung wurden von $100$ Kindern die Körpergrößen in $\mathrm{cm}$ gemessen.

Größe	Anzahl
110	7
111	10
112	9
113	11
114	12
115	14
116	11
117	10
118	7
119	6
120	3

1. Klasseneinteilung mit konstanter Klassenbreite

Bei den Beispielen $1$ , $2$ , $3a$ und $3b$ wird eine konstante Klassenbreite von $2\;\mathrm{cm}$ gewählt. Die Klassenbreite ist z.B. das halboffene Intervall $[110;112[$ . Darin sind alle Daten $x$ , für die gilt $110 \;\mathrm{cm} \leq x<112 \;\mathrm{cm}$ und entsprechend die anderen Klassen.

1. Beispiel für ein Histogramm mit absoluter Häufigkeit und konstanter Klassenbreite

Klasse	Anzahl	Klassenbreite
[110;112[	17	2
[112;114[	20	2
[114;116[	26	2
[116;118[	21	2
[118;120]	16	2

2. Grafische Darstellung

Auf der $1.$ Achse werden die Intervalle entsprechend der Klasseneinteilung aufgetragen. Dann werden Rechtecke über den Intervallen gezeichnet.

Dabei entspricht die Rechteckhöhe der absoluten Häufigkeit.

Aus dem Histogramm kann sehr einfach an der $2.$ Achse die Anzahl der Kinder abgelesen werden, die zu einer bestimmten Klasse gehören.

In der $3.$ Klasse mit den Größen $114 \;\mathrm{cm} \leq x<116 \;\mathrm{cm}$ befinden sich 26 Kinder.

2. Histogramm mit relativer Häufigkeit und konstanter Klassenbreite

1. Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Mit der Anzahl der einsortierten Daten wird dann die relative Häufigkeit bestimmt.

Klasse	Anzahl	rel. Häufigkeit	Klassenbreite
[110;112[	17	0,17	2
[112;114[	20	0,20	2
[114;116[	26	0,26	2
[116;118[	21	0,21	2
[118;120]	16	0,16	2

2. Grafische Darstellung

Auf der $1.$ Achse werden die Intervalle entsprechend der Klasseneinteilung aufgetragen. Dann werden Rechtecke über den Intervallen gezeichnet.

Dabei entspricht die Rechteckhöhe der relativen Häufigkeit.

Z.B. beträgt die relative Häufigkeit $0{,}20$ für die $2.$ Klasse mit den Größen $112 \;\mathrm{cm} \leq x<114 \;\mathrm{cm}$ .

3a. Beispiel für ein normiertes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

1. Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Die Häufigkeitsdichte wird berechnet:

$\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{Anzahl}}{\text{Klassenbreite}}$

Klasse	Anzahl	Klassenbreite	Häufigkeitsdichte
[110;112[	17	2	8,5
[112;114[	20	2	10
[114;116[	26	2	13
[116;118[	21	2	10,5
[118;120]	16	2	8

2. Grafische Darstellung

Die Häufigkeitsdichte ergibt die Höhe des Rechtecks.

Für die Zeichnung der Rechtecke muss ein Maßstab festgelegt werden. Hier wurde z.B. festgelegt, dass einer relativen Häufigkeitsdichte von $2$ eine Rechteckhöhe von $1\;\mathrm{cm}$ zugeordnet wird.

Der Flächeninhalt entspricht dann der absoluten Häufigkeit.

Z.B. berechnet man die absolute Häufigkeit für die $1.$ Klasse mit:

$\text{Klassenbreite mal Häufigkeitsdichte}=2\cdot 8{,}5=17$

normiertes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

3b. Beispiel für ein normiertes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und relativer Häufigkeitsdichte

1. Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Die relative Häufigkeitsdichte wird berechnet:

$\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{rel. Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}$

Klasse	Anzahl	rel.Häufigkeit	Klassenbreite	Häufigkeitsdichte
[110;112[	17	0,17	2	0,085
[112;114[	20	0,20	2	0,10
[114;116[	26	0,26	2	0,13
[116;118[	21	0,21	2	0,105
[118;120]	16	0,16	2	0,08

2. Grafische Darstellung

Die relative Häufigkeitsdichte ergibt die Höhe des Rechtecks.

Für die Zeichnung der Rechtecke muss ein Maßstab festgelegt werden. Hier wurde z.B. festgelegt, dass einer relativen Häufigkeitsdichte von $0{,}02$ eine Rechteckhöhe von $1\;\mathrm{cm}$ zugeordnet wird.

Der Flächeninhalt entspricht dann der relativen Häufigkeit.

Z.B. berechnet man die relative Häufigkeit für die $1.$ Klasse mit:

$\text{Klassenbreite mal Häufigkeitsdichte}=2\cdot0{,}085=0{,}17$

Histogramm normiert konstante Klassenbreite rel. Häufigkeitsdichte

2. Klasseneinteilung mit variabler Klassenbreite

Bei variablen Klassenbreiten können die Histogramme nur mit der Häufigkeitsdichte bzw. relativen Häufigkeitsdichte dargestellt werden. Eine Darstellung mit absoluten Häufigkeiten würde zu Fehlinterpretationen führen.

Bei den Beispielen $4$ und $5$ wird eine variable Klassenbreite gewählt. Die Klassenbreite für die $1.$ Klasse ist das halboffene Intervall $[110;113[$ . Darin sind alle Daten $x$ , für die gilt $110 \;\mathrm{cm} \leq x<113 \;\mathrm{cm}$ . Diese Klasse hat eine Breite von $3\;\mathrm{cm}$ . Die $2.$ Klasse hat eine Breite von $2\;\mathrm{cm}$ und die $3.$ Klasse hat eine Breite von $5\;\mathrm{cm}$ .

4. Beispiel für ein normiertes Histogramm mit variabler Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

Die Häufigkeitsdichte wird berechnet:

$\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{Anzahl}}{\text{Klassenbreite}}$

Klasse	Anzahl	Klassenbreite	Häufigkeitsdichte
[110;113[	26	3	8,67
[113;115[	23	2	11,5
[115;120]	51	5	10,2

2. Grafische Darstellung

Die Häufigkeitsdichte ergibt die Höhe des Rechtecks.

Für die Zeichnung der Rechtecke muss ein Maßstab festgelegt werden. Hier wurde z.B. festgelegt, dass einer Häufigkeitsdichte von $2$ eine Rechteckhöhe von $1\;\mathrm{cm}$ zugeordnet wird.

Der Flächeninhalt entspricht dann der absoluten Häufigkeit.

Z.B. berechnet man die absolute Häufigkeit für die $3.$ Klasse mit:

$\text{Klassenbreite mal Häufigkeitsdichte}=5\cdot 10{,}2=51$

5. Beispiel für ein normiertes Histogramm mit variabler Klassenbreite und relativer Häufigkeitsdichte

1. Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim $4.$ Beispiel.

Die relative Häufigkeitsdichte wird berechnet:

$\text{Häufigkeitsdichte}=\dfrac{\text{rel. Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}$

Klasse	rel. Häufigkeit	Klassenbreite	rel. Häufigkeitsdichte
[110;113[	0,26	3	0,087
[113;115[	0,23	2	0,115
[115;120]	0,51	5	0,102

2. Grafische Darstellung

Die relative Häufigkeitsdichte ergibt die Höhe des Rechtecks.

Für die Zeichnung der Rechtecke muss ein Maßstab festgelegt werden. Hier wurde z.B. festgelegt, dass einer relativen Häufigkeitsdichte von $0{,}01$ eine Rechteckhöhe von $1\;\mathrm{cm}$ zugeordnet wird.

Der Flächeninhalt entspricht dann der relativen Häufigkeit.

Z.B. berechnet man die relative Häufigkeit für die $3.$ Klasse mit:

$\text{Klassenbreite mal Häufigkeitsdichte}=5\cdot 0{,}102=0{,}51$

Histogramm normiert variable Klassenbreite

Zusammenfassung

Mit einem Histogramm können numerische Daten geordnet dargestellt werden. Man erhält man Aussagen über:

die Verteilung der Daten (Symmetrieverhältnisse)
Schwankungen, die in den Daten vorhanden sind
den ungefähren Mittelpunkt der Daten

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