Histogramm

Die folgende Übersicht zeigt verschiedene Arten von Histogrammen. Je ein Beispiel soll das entsprechende Histogramm verdeutlichten.

Vorgehensweise

Die Häufigkeitsverteilung eines bestimmten Merkmals liegt vor. So ein Merkmal kann z.B. die Körpergröße oder das Alter von Personen sein.

1. Klasseneinteilung

Mehrere Beobachtungswerte werden zu Klassen zusammengefasst. Die Klassen können eine konstante oder variable Breite haben. Für jede Klasse wird die Anzahl der Daten ermittelt, die in diese Klasse gehören.

• Die Klassengrenzen dürfen sich nicht überschneiden.

• Die Klassenbreite ist die Differenz zwischen oberer und unterer Klassengrenze.

• Die Randklassen sind nicht offen, d.h. die erste und letzte Klasse haben eine untere bzw. obere Grenze.

2. Grafische Darstellung

Auf der $1.$ Achse werden die Intervalle entsprechend der Klasseneinteilung aufgetragen. Dann werden Rechtecke über den Intervallen gezeichnet.

Für die Rechteckhöhe ergeben sich je nach gewählter Histogrammart unterschiedliche Werte.

Sind die Klassen benachbart, dann grenzen die Rechtecke aneinander.

Den folgenden Beispielen liegt folgender Datensatz zugrunde.

Bei der Einschulungsuntersuchung wurden von $100$ Kindern die Körpergrößen in $\mathrm{cm}$ gemessen.

1. Klasseneinteilung mit konstanter Klassenbreite

Bei den Beispielen $1$, $2$, $3a$ und $3b$ wird eine konstante Klassenbreite von $2\mathrm{cm}$ gewählt. Die Klassenbreite ist z.B. das halboffene Intervall $[110;112[$. Darin sind alle Daten $x$, für die gilt $110\mathrm{cm}\le x<112\mathrm{cm}$ und entsprechend die anderen Klassen.

1. Beispiel für ein Histogramm mit absoluter Häufigkeit und konstanter Klassenbreite

2. Grafische Darstellung

2. Histogramm mit relativer Häufigkeit und konstanter Klassenbreite

1. Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Mit der Anzahl der einsortierten Daten wird dann die relative Häufigkeit bestimmt.

2. Grafische Darstellung

3a. Beispiel für ein normiertes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

1. Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Die Häufigkeitsdichte wird berechnet:

$\text{Häufigkeitsdichte}={\displaystyle \frac{\text{Anzahl}}{\text{Klassenbreite}}}$

2. Grafische Darstellung

3b. Beispiel für ein normiertes Histogramm mit konstanter Klassenbreite und relativer Häufigkeitsdichte

1. Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim 1. Beispiel.

Die relative Häufigkeitsdichte wird berechnet:

$\text{Häufigkeitsdichte}={\displaystyle \frac{\text{rel. Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}}$

2. Grafische Darstellung

2. Klasseneinteilung mit variabler Klassenbreite

Bei variablen Klassenbreiten können die Histogramme nur mit der Häufigkeitsdichte bzw. relativen Häufigkeitsdichte dargestellt werden. Eine Darstellung mit absoluten Häufigkeiten würde zu Fehlinterpretationen führen.

Bei den Beispielen $4$ und $5$ wird eine variable Klassenbreite gewählt. Die Klassenbreite für die $1.$ Klasse ist das halboffene Intervall $[110;113[$. Darin sind alle Daten $x$, für die gilt $110\mathrm{cm}\le x<113\mathrm{cm}$. Diese Klasse hat eine Breite von $3\mathrm{cm}$. Die $2.$ Klasse hat eine Breite von $2\mathrm{cm}$ und die $3.$ Klasse hat eine Breite von $5\mathrm{cm}$.

4. Beispiel für ein normiertes Histogramm mit variabler Klassenbreite und Häufigkeitsdichte

Die Häufigkeitsdichte wird berechnet:

$\text{Häufigkeitsdichte}={\displaystyle \frac{\text{Anzahl}}{\text{Klassenbreite}}}$

2. Grafische Darstellung

5. Beispiel für ein normiertes Histogramm mit variabler Klassenbreite und relativer Häufigkeitsdichte

1. Klasseneinteilung

Die Klasseneinteilung erfolgt wie beim $4.$ Beispiel.

Die relative Häufigkeitsdichte wird berechnet:

$\text{Häufigkeitsdichte}={\displaystyle \frac{\text{rel. Häufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}}$

2. Grafische Darstellung

Zusammenfassung