$f\left(x\right)=\mathrm{0,2}{x}^6-\mathrm{1,75}{x}^4-6x^2$

$f^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{1,2}{x}^5-7x^3-12x$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x^4-21x^2-12$

Symmetrie von $G_f$

$f\left(x\right)=\mathrm{0,2}{x}^6-\mathrm{1,75}{x}^4-6x^2$

Da alle Potenzen gerade sind, ist $G_f$ symmetrisch zur y-Achse.

Symmetrie von $G_{f^{\prime }}$

$f^{\prime }\left(x\right)=\mathrm{1,2}{x}^5-7x^3-12x$

Da alle Potenzen ungerade sind, ist $G_{f^{\prime }}$ symmetrisch zum Ursprung.

Symmetrie von $G_{f^{\prime \prime }}$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=6x^4-21x^2-12$

Da alle Potenzen gerade sind, ist $G_{f^{\prime \prime }}$ symmetrisch zur y-Achse.

Nullstellen der 2. Ableitung

Die Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung bekommst du, indem du die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmst.

Da es sich um eine biquadratische Gleichung handelt, kann mit $u=x^2$ substituiert werden:

Mithilfe der Mitternachtsformel kannst du die neue Gleichung lösen:

Es ergeben sich die Lösungen $u_1=4$ und $u_2=-\mathrm{0,5}$

Vergiss nicht die Rücksubstitution. Für $u_1=4$ ergibt sich:

Das gleiche nochmal für $u_2=-\mathrm{0,5}$

Keine weitere Lösung.

Art der Extremstelle

Mithilfe einer Monotonietabelle für $G_{f^{\prime }}$ oder mithilfe der 3. Ableitung kann die Art der Extremstelle bestimmt werden. Hier ist die Lösung mithilfe der 3. Ableitung dargestellt:

$f^{\prime \prime \prime }\left(x\right)=24x^3-42x$

Setze $x_1=2$ und $x_2=-2$ jeweils in $f^{\prime \prime \prime }$ ein:

• $f^{\prime \prime \prime }\left(2\right)=108>0$, also Tiefpunkt von $G_{f^{\prime }}$ bei $x=2$

• $f^{\prime \prime \prime }(-2)=-108<0$, also Hochpunkt von $G_{f^{\prime }}$ bei $x=-2$

(Hinweis: Du könntest auch durch die Punktsymmetrie der 1. Ableitung direkt darauf schließen, dass das Verhalten bei $x=2_{}$ gespiegelt auch für $x=-2$ gelten muss.)

Lage des Extrempunkts bzgl. der x-Achse

Damit es sich um eine Stelle lokal stärkster Abnahme handelt, müsste der Tiefpunkt von $G_{f^{\prime }}$ bei $x=2$ unterhalb der x-Achse liegen. Setze den Wert in f' ein, um den Wert zu erhalten und zu entscheiden, ob für $G_f$ hier generell eine Zunahme oder Abnahme vorliegt.

$f^{\prime }\left(2\right)=-\mathrm{41,6}<0$, also $G_{f^{\prime }}$ hier unterhalb der x-Achse und somit eine Stelle lokal stärkster Abnahme.

Analog gilt für die Stelle stärkster Zunahme, dass der Hochpunkt von $G_{f^{\prime }}$ bei $x=-2$ oberhalb von der x-Achse liegen muss.

$f^{\prime }(-2)=\mathrm{41,6}>0$, also $G_{f^{\prime }}$ hier oberhalb von der x-Achse und somit Stelle lokal stärkster Zunahme.

(Hinweis: Du könntest auch durch die Punktsymmetrie der 1. Ableitung direkt darauf schließen, dass das Verhalten bei $x=2_{}$ gespiegelt auch für $x=-2$ gelten muss.)

Extrempunkt bei x=0

Durch Faktorisieren erhält man den Term:

$f\left(x\right)=x^2(\mathrm{0,2}{x}^4-\mathrm{1,75}{x}^2-6)$

Da ein Produkt genau dann 0 ist, wenn eines seiner Faktoren 0 ist, hat die Funktion eine doppelte Nullstelle (Nullstelle mit Vielfachheit 2) bei x=0.

Eine doppelte Nullstelle berührt die x-Achse lediglich und ist deshalb automatisch auch eine Extremstelle.

Es steht noch aus, ob es sich um einen Tiefpunkt oder Hochpunkt handelt.

Weitere Extremstellen.

Da $G_f$ zwei Wendepunkte hat, die keine Terrassenpunkte sind ($x=-2$ und $x=2$), muss der Graph 3 Extremstellen haben, da der Wendepunkt jeweils zwischen zwei Extremstellen liegen muss.

Es kann keine weiteren Extremstellen geben, da es keine weiteren Wendepunkte gibt und sich entweder vor oder nach einer Extremstelle (oder beide Male) die Krümmung ändern muss.

Es muss also ein weiterer Extempunkt in $]-\infty ;-2[$ und einer in $]2;\infty [$ liegen. Aufgrund der Achsensymmetrie von $G_f$ sind beide Extrempunkte von der derselben Art.

Art aller drei Extremstellen

Da der Term vom Grad 4 ist und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt

${\lim }_{x\mapsto \pm \infty }f\left(x\right)=+\infty$, was bedeutet, dass der Graph von f zu Beginn fällt. Der erste Extrempunkt im Intervall $]-\infty ;-2[$ ist also ein Tiefpunkt.

Aufgrund der Symmetrie muss auch im Intervall $]2;\infty [$ ein Tiefpunkt sein.

Somit ist im Ursprung ein Hochpunkt.

(Hinweis: Die x-Koordinaten der anderen Extrempunkte können durch Faktorisieren der 1. Ableitung und durch Substitution berechnet werden. Sie liegen ungefähr bei $x_{E1}\approx -\mathrm{2,69}$ und $x_{E2}\approx \mathrm{2,69}$)