Aufgaben zu absoluten und relativen Extremstellen

Hier ist die Definitionsmenge nicht eingeschränkt, deshalb geht der Graph noch weiter (Ganzrationale Funktion).

Warum sind A und C beide absolute Extrempunkte?

A und C liegen auf der exakt gleichen Höhe und haben deshalb den gleichen Funktionswert. Du siehst also, dass kein höherer Punkt mehr vorliegt und es demnach absolute Hochpunkte sind.

Warum ist B kein absoluter Extrempunkt?

B ist ein Tiefpunkt, aber man sieht, dass es noch tiefere Punkte gibt. Es kann deshalb nicht ein absoluter Extrempunkt sein. B ist darum ein relativer Extrempunkt.

1.Ableiten und Nullsetzen

Bilde die erste Ableitung der Funktion und berechne die Nullstellen.

$f(x)=1{,}5x^4+8x^3-21x^2-60x-31{,}5$

$f'\left(x\right)=6x^3+24x^2-42x-60$

$f'\left(x\right)=0$

$6x^3+24x^2-42x-60=0$

2.Polynomdivision

Finde, zum Beispiel mithilfe einer Wertetabelle oder durch Probieren, eine Nullstelle für die Polynomdivision:

$x_0=2$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;(6x^3+24x^2-42x-60):(x-2)=6x^2+36x+30\\\underline{-(6x^3-12x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;36x^2-42x\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(36x^2-72x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;30x-60\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(30x-60)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

3.Mitternachtsformel

Ermittle die übrigen Nullstellen, indem du das Ergebnis der Polynomdivision nullsetzt.

$6x^2+36x+30=0$

Löse mit der Mitternachtsformel:

$x_{1{,}2}=\frac{-36\pm\sqrt{36^2-4\cdot6\cdot30}}{2\cdot6}$

$x_1=-1$ einfache Nullstelle

$x_2=-5$ einfache Nullstelle

4.Vorzeichentabelle

Betrachte die Bereiche zwischen den Nullstellen der ersten Ableitung.

Der Leitkoeffizient der Funktion ist positiv und der Grad ist zusätzlich gerade.

Der Graph kommt somit von oben und geht nach oben.

Da nur einfache Nullstellen vorliegen, kommt es nach jeder Nullstelle zu einem Vorzeichenwechsel.

5.Berechnen der y-Werte

Setze die gefundenen x-Werte in die Funktion $G_f$ ein.

$f\left(-5\right)=-319$ $\Rightarrow\ TIP_1\left(-5\mid-319\right)$

$f\left(-1\right)=1$ $\Rightarrow\ HOP\ \left(-1\mid1\right)$

$f\left(2\right)=-\frac{295}{2}$ $\Rightarrow\ TIP_2\left(2\mid-147{,}5\right)$

6.Begründung

Da der Grad der Funktion gerade ist und der Definitionsbereich nicht eingeschränkt ist, gibt es mindestens eine absolute Extremstelle. Aufgrund des positiven Leitkoeffizienten kommt der Graph von oben und geht nach oben, weshalb es sich nur um einen absoluten Tiefpunkt handeln kann.

Wenn du die y-Koordinaten der Extrempunkte miteinbeziehst, ist diese der Tiefpunkt $TIP_1(-5|-319)$. Die übrigen beiden Extrempunkte sind relative Extrempunkte.

1.Bilden der 1. Ableitung

Leite $f(x)$ ab.

$f'(x)=$ 3x² + 3x - 6

2.Nullstellen von $f'(x)$ berechnen

$f´\left(x\right)=0$

$0=3x^2+3x-6$

Mitternachtsformel:

$x_{1{,}2}^{ }=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot3\cdot\left(-6\right)}^{ }}{2\cdot3}$

$x_1=-2\$ und $x_2=1\$

3.Vorzeichentabelle erstellen

4.Berechnen der y-Werte der Extremstellen

Setze die x-Werte in die Ausgangsfunktion ein.

$f(-2)=10$ HOP (-2/10)

$f(1)=-\frac{7}{2}$ TIP (1/-3,5)

5.Betrachten des Definitonsbereichs

Aus der Angabe weißt du, dass der Definitionsbereich auf $D=[-3;2]$ eingeschränkt ist.

6.Berechen der y-Werte der Randextremstellen

Setze die Randextrema in die Ausgangsfunktion ein.

$f\left(-3\right)=\frac{9}{2}$

$f\left(2\right)=2$

7.Bestimmen der absoluten Extrema

Bei (-2/10) hat der Graph $G_f$ seinen absoluten Hochpunkt.

Bei (1/-3,5) hat der Graph $G_f$ seinen absoluten Tiefpunkt.

Zusatz: Angeben des Wertebereichs

$W=[-\frac{7}{2\ };\ 10$]

Zur Veranschaulichung: