3Erste Beispiele

Ein paar ganz einfache Logarithmen

• $\log_{\color{red}3}({\color{blue}9})=2$, denn ${\color{red}3}^2={\color{blue}9}$

• $\log_{\color{red}3}({\color{blue}81})=4$, denn ${\color{red}3}^4={\color{blue}81}$

• $\log_{\color{red}10}({\color{blue}1000})=3$, denn ${\color{red}10}^3={\color{blue}1000}$

• $\log_{\color{red}10}({\color{blue}1})=0$, denn ${\color{red}10}^0={\color{blue}1}$

• Weil ${\color{red}a}^0={\color{blue}1}$ für jede positive Zahl $a$ ist, ist immer $\log_{\color{red}a}({\color{blue}1})=0$.

Logarithmen können auch negativ sein

• $\log_{\color{red}3}({\color{blue}\frac{1}{9}})=-2$, denn ${\color{red}3}^{-2}={\color{blue}\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}}$

• $\log_{\color{red}3}({\color{blue}\frac{1}{81}})=-4$, denn ${\color{red}3}^{-4}={\color{blue}\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}}$

• $\log_{\color{red}10}({\color{blue}\frac{1}{1000}})=-3$, denn ${\color{red}10}^{-3}={\color{blue}\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}}$

Logarithmen haben nicht nur ganzzahlige Werte

• $\log_{\color{red}9}({\color{blue}3})=\frac{1}{2}$, denn ${\color{red}9}^{1/2}={\color{blue}\sqrt{9}=3}$

• $\log_{\color{red}81}({\color{blue}3})=\frac{1}{4}$, denn ${\color{red}81}^{1/4}={\color{blue}\sqrt[4]{81}=3}$

• $\log_{\color{red}1000}({\color{blue}10})=\frac{1}{3}$, denn ${\color{red}1000}^{1/3}={\color{blue}\sqrt[3]{1000}=10}$

Und auch das ist möglich

• $\log_{\color{red}\frac{1}{9}}({\color{blue}3})=-\frac{1}{2}$, denn ${\color{red}\big(\frac{1}{9}\big)}^{-1/2}={\color{blue}9^{1/2}=\sqrt{9}=3}$

• $\log_{\color{red}\frac{1}{81}}({\color{blue}3})=-\frac{1}{4}$, denn ${\color{red} \big(\frac{1}{81}\big)}^{-1/4}={\color{blue}81^{1/4}=\sqrt[4]{81}=3}$

• $\log_{\color{red}\frac{1}{9}}({\color{blue}\frac{1}{3}})=\frac{1}{2}$, denn ${\color{red}\left(\frac{1}{9}\right)}^{1/2}={\color{blue}\frac{1}{9^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}}$

Denkst du, dass du selbst nicht auf diese Werte gekommen wärst? Hier findest du ein systematisches Verfahren, um diese Logarithmen zu bestimmen.