11Basisumrechnung

Wenn du den Logarithmus einer Zahl $a$ zu einer Basis $b$ hast, kannst du den Logarithmus von $a$ zu einer anderen Zahl leicht berechnen:

\displaystyle \log_{\color{blue}c}(b)= \log_{\color{blue}c}({\color{red}a}) \log_{\color{red}a}(b)=\frac{\log_{\color{red}a}(b)}{\log_{\color{red}a}({\color{blue}c})}

1) Weil $2^{3} = 8$ ist, ist $\log_2(8)=3$ .

Wenn du weißt, dass $8^{3} = 512$ ist, was ist dann der Logarithmus von $512$ zur Basis $2$ ?

Antwort: Wir wissen, dass $\log_8(512)=3$ ist.

Daher ist $\log_2(512)=\log_2(8)\cdot\log_8(512)=3\cdot3=9$

(und das stimmt auch, weil $2^{9} = 512$ ist.)

2) Was ist $\log_{1/3}(81)$ ?

Antwort: du weißt, dass $3^{4} = 81$ ist, also $\log_3(81)=4$ .

Außerdem ist $\dfrac{1}{3}=3^{-1},$ also auch $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=3$ und damit $\log_{1/3}(3)=-1$ .

Also ist $\log_{1/3}(81)=\log_{1/3}(3)\cdot\log_3(81)=(-1)\cdot4=-4$ .

Daraus erhält man eine weitere Regel:

\displaystyle \log_a(b)=\frac{1}{\log_b(a)}

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