11Basisumrechnung

Wenn du den Logarithmus einer Zahl $aa$ zu einer Basis $bb$ hast, kannst du den Logarithmus von $aa$ zu einer anderen Zahl leicht berechnen:

Beispiele

1) Weil $2^3=82^3=8$ ist, ist ${\log }_2(8)=3\backslash log\_2(8)=3$.

Wenn du weißt, dass $8^3=5128^3=512$ ist, was ist dann der Logarithmus von $512512$ zur Basis $22$?

Antwort: Wir wissen, dass ${\log }_8(512)=3\backslash log\_8(512)=3$ ist.

Daher ist ${\log }_2(512)={\log }_2(8)\cdot {\log }_8(512)=3\cdot 3=9\backslash log\_2(512)=\backslash log\_2(8)\backslash cdot\backslash log\_8(512)=3\backslash cdot3=9$

(und das stimmt auch, weil $2^9=5122^9=512$ ist.)

2) Was ist ${\log }_{1\mathrm{/}3}(81)\backslash log\_\{1/3\}(81)$?

Antwort: du weißt, dass $3^4=813^4=81$ ist, also ${\log }_3(81)=4\backslash log\_3(81)=4$.

Außerdem ist ${\displaystyle \frac{1}{3}}=3^{-1},\backslash dfrac\{1\}\{3\}=3^\{-1\},$ also auch ${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-1}=3\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash right)^\{-1\}=3$ und damit ${\log }_{1\mathrm{/}3}(3)=-1\backslash log\_\{1/3\}(3)=-1$.

Also ist ${\log }_{1\mathrm{/}3}(81)={\log }_{1\mathrm{/}3}(3)\cdot {\log }_3(81)=(-1)\cdot 4=-4\backslash log\_\{1/3\}(81)=\backslash log\_\{1/3\}(3)\backslash cdot\backslash log\_3(81)=(-1)\backslash cdot4=-4$.

Daraus erhält man eine weitere Regel: