Wenn du das berechnen möchtest, könntest du so vorgehen:

Nach einem Jahr verschwinden $10\mathrm{\%}10\backslash \%$ der Dämpfung, also bleiben noch $90\mathrm{\%}90\backslash \%$.

Nach dem nächsten Jahr bleiben noch $90\mathrm{\%}90\backslash \%$ von $90\mathrm{\%}90\backslash \%$.

Jetzt siehst du. dass du besser statt $90\mathrm{\%}90\backslash \%$ mit $\mathrm{0,9}0\{,\}9$ rechnest, dann ist der Anteil der ursprünglichen Dämpfung $\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{0,81}0\{,\}9\backslash cdot\; 0\{,\}9=0\{,\}81$.

Nach dem dritten Jahr bleibt $\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9}\cdot \mathrm{0,9}=(\mathrm{0,9}{)}^3=\mathrm{0,721}0\{,\}9\backslash cdot0\{,\}9\backslash cdot0\{,\}9=(0\{,\}9)^3=0\{,\}721$ übrig.

Das kannst du so weitermachen, bis du unter $\frac{1}{3}=0,\bar{3}\backslash frac\{1\}\{3\}=0,\backslash overline\{3\}$ bist.

Ganz schön langweilig, was?

Besser geht es so:

Du siehst, dass du nach $nn$ Jahren noch eine Dämpfung von ${\mathrm{0,9}}^{n}0\{,\}9^n$ hast.

Die Frage ist:

Für welches $nn$ ist erstmals ?

Du musst also eine Gleichung nach dem Exponenten auflösen.

In diesem Kurs lernst du, wie du aus der Gleichung

die Lösung $n=\mathrm{10,427}\dots n=10\{,\}427\backslash ldots$ bekommst.

Die Dämpfung ist also nach $1111$ Jahren erstmals kleiner als ein Drittel der ursprünglichen.

Quellen

Wikimedia commons https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Platform_trainer_Buffalo_white-blue.jpg

Der Logarithmus kommt als Erstes in der Potenzrechnung vor.

Sieht dir mal dieses Beispiel an:

Jetzt kannst du jede Zahl durch ein "$xx$" ersetzen und nach der Lösung fragen:

• $2^3=x2^3=x$ ist eine Potenzaufgabe, die Lösung $x=8x=8$ erhältst du als $x=2^3=2\cdot 2\cdot 2=8.x=2^3=2\backslash cdot2\backslash cdot2=8.$

• $x^3=8x^3=8$ wird durch Wurzelziehen gelöst: $x^3=8\iff x=\sqrt[3]{8}=2x^3=8\; \backslash Leftrightarrow\; x=\backslash sqrt[3]\{8\}=2$

• Zur Lösung von $2^x=82^x=8$ brauchst du den Logarithmus:

Natürlich weißt du schon, dass die Lösung $x=3x=3$ ist. Das schreibst du so:

${\log }_2(8)=3\backslash log\_2(8)=3$. Gelesen wird das als: "Der Logarithmus von $88$ zur Basis $22$ ist 3".

In diesem Beispiel ist es:

"Der Logarithmus von $88$ zur Basis $22$ ist 3, weil $2^3=82^3=8$ ist."

In diesem Kurs kannst du lernen:

1. Wie man Logarithmen in einfachen Fällen berechnet

2. Wie man Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnet

3. Welche Rechenregeln es gibt

4. Welche Basen besondere Bedeutung haben - dann haben die Logarithmen besondere Namen

5. Wo man Logarithmen anwenden kann

6. Wo du weitere Informationen bekommst

Du musst nicht alles durchgehen - für den Anfang reichen die Punkte 1-4. Aber vielleicht hast du ja Interesse und guckst dir den Rest auch an.

Ein paar ganz einfache Logarithmen

• ${\log }_3(9)=2\backslash log\_\{\backslash color\{red\}3\}(\{\backslash color\{blue\}9\})=2$, denn $3^2=9\{\backslash color\{red\}3\}^2=\{\backslash color\{blue\}9\}$

• ${\log }_3(81)=4\backslash log\_\{\backslash color\{red\}3\}(\{\backslash color\{blue\}81\})=4$, denn $3^4=81\{\backslash color\{red\}3\}^4=\{\backslash color\{blue\}81\}$

• ${\log }_{10}(1000)=3\backslash log\_\{\backslash color\{red\}10\}(\{\backslash color\{blue\}1000\})=3$, denn ${10}^3=1000\{\backslash color\{red\}10\}^3=\{\backslash color\{blue\}1000\}$

• ${\log }_{10}(1)=0\backslash log\_\{\backslash color\{red\}10\}(\{\backslash color\{blue\}1\})=0$, denn ${10}^0=1\{\backslash color\{red\}10\}^0=\{\backslash color\{blue\}1\}$

• Weil $a^0=1\{\backslash color\{red\}a\}^0=\{\backslash color\{blue\}1\}$ für jede positive Zahl $aa$ ist, ist immer ${\log }_a(1)=0\backslash log\_\{\backslash color\{red\}a\}(\{\backslash color\{blue\}1\})=0$.

Logarithmen können auch negativ sein

• ${\log }_3(\frac{1}{9})=-2\backslash log\_\{\backslash color\{red\}3\}(\{\backslash color\{blue\}\backslash frac\{1\}\{9\}\})=-2$, denn $3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\{\backslash color\{red\}3\}^\{-2\}=\{\backslash color\{blue\}\backslash frac\{1\}\{3^2\}=\backslash frac\{1\}\{9\}\}$

• ${\log }_3(\frac{1}{81})=-4\backslash log\_\{\backslash color\{red\}3\}(\{\backslash color\{blue\}\backslash frac\{1\}\{81\}\})=-4$, denn $3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}\{\backslash color\{red\}3\}^\{-4\}=\{\backslash color\{blue\}\backslash frac\{1\}\{3^4\}=\backslash frac\{1\}\{81\}\}$

• ${\log }_{10}(\frac{1}{1000})=-3\backslash log\_\{\backslash color\{red\}10\}(\{\backslash color\{blue\}\backslash frac\{1\}\{1000\}\})=-3$, denn ${10}^{-3}=\frac{1}{{10}^3}=\frac{1}{1000}\{\backslash color\{red\}10\}^\{-3\}=\{\backslash color\{blue\}\backslash frac\{1\}\{10^3\}=\backslash frac\{1\}\{1000\}\}$

Logarithmen haben nicht nur ganzzahlige Werte

• ${\log }_9(3)=\frac{1}{2}\backslash log\_\{\backslash color\{red\}9\}(\{\backslash color\{blue\}3\})=\backslash frac\{1\}\{2\}$, denn $9^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{9}=3\{\backslash color\{red\}9\}^\{1/2\}=\{\backslash color\{blue\}\backslash sqrt\{9\}=3\}$

• ${\log }_{81}(3)=\frac{1}{4}\backslash log\_\{\backslash color\{red\}81\}(\{\backslash color\{blue\}3\})=\backslash frac\{1\}\{4\}$, denn ${81}^{1\mathrm{/}4}=\sqrt[4]{81}=3\{\backslash color\{red\}81\}^\{1/4\}=\{\backslash color\{blue\}\backslash sqrt[4]\{81\}=3\}$

• ${\log }_{1000}(10)=\frac{1}{3}\backslash log\_\{\backslash color\{red\}1000\}(\{\backslash color\{blue\}10\})=\backslash frac\{1\}\{3\}$, denn ${1000}^{1\mathrm{/}3}=\sqrt[3]{1000}=10\{\backslash color\{red\}1000\}^\{1/3\}=\{\backslash color\{blue\}\backslash sqrt[3]\{1000\}=10\}$

Und auch das ist möglich

• ${\log }_{\frac{1}{9}}(3)=-\frac{1}{2}\backslash log\_\{\backslash color\{red\}\backslash frac\{1\}\{9\}\}(\{\backslash color\{blue\}3\})=-\backslash frac\{1\}\{2\}$, denn ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{-1\mathrm{/}2}=9^{1\mathrm{/}2}=\sqrt{9}=3\{\backslash color\{red\}\backslash big(\backslash frac\{1\}\{9\}\backslash big)\}^\{-1/2\}=\{\backslash color\{blue\}9^\{1/2\}=\backslash sqrt\{9\}=3\}$

• ${\log }_{\frac{1}{81}}(3)=-\frac{1}{4}\backslash log\_\{\backslash color\{red\}\backslash frac\{1\}\{81\}\}(\{\backslash color\{blue\}3\})=-\backslash frac\{1\}\{4\}$, denn ${\left(\frac{1}{81}\right)}^{-1\mathrm{/}4}={81}^{1\mathrm{/}4}=\sqrt[4]{81}=3\{\backslash color\{red\}\; \backslash big(\backslash frac\{1\}\{81\}\backslash big)\}^\{-1/4\}=\{\backslash color\{blue\}81^\{1/4\}=\backslash sqrt[4]\{81\}=3\}$

• ${\log }_{\frac{1}{9}}(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\backslash log\_\{\backslash color\{red\}\backslash frac\{1\}\{9\}\}(\{\backslash color\{blue\}\backslash frac\{1\}\{3\}\})=\backslash frac\{1\}\{2\}$, denn ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{1\mathrm{/}2}=\frac{1}{9^{1\mathrm{/}2}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}\{\backslash color\{red\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{9\}\backslash right)\}^\{1/2\}=\{\backslash color\{blue\}\backslash frac\{1\}\{9^\{1/2\}\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{9\}\}=\backslash frac\{1\}\{3\}\}$

Denkst du, dass du selbst nicht auf diese Werte gekommen wärst? Hier findest du ein systematisches Verfahren, um diese Logarithmen zu bestimmen.

Aufgabe 1

Bestimme die Logarithmen:

1. ${\log }_2(4)\backslash log\_2(4)$

2. ${\log }_5(125)\backslash log\_5(125)$

3. ${\log }_6(36)\backslash log\_6(36)$

4. ${\log }_{17}(1)\backslash log\_\{17\}(1)$

5. ${\log }_4(64)\backslash log\_4(64)$

Aufgabe 2

Bestimme die Logarithmen

1. ${\log }_2(\frac{1}{4})\backslash log\_2(\backslash frac\{1\}\{4\})$

2. ${\log }_3(\frac{1}{3})\backslash log\_3(\backslash frac\{1\}\{3\})$

3. ${\log }_5(\frac{1}{25})\backslash log\_5(\backslash frac\{1\}\{25\})$

4. ${\log }_7(\frac{1}{49})\backslash log\_7(\backslash frac\{1\}\{49\})$

Aufgabe 3

Berechne die Logarithmen

1. ${\log }_4(2)\backslash log\_\{4\}(2)$

2. ${\log }_{16}2\backslash log\_\{16\}\{2\}$

3. ${\log }_{100}(10)\backslash log\_\{100\}(10)$

4. ${\log }_{216}(6)\backslash log\_\{216\}(6)$

Aufgabe 4

Zwischen welchen ganzen Zahlen liegen die Logarithmen?

Beispielrechnung:

${\log }_2(7)\backslash log\_2(7)$: es ist . Darum liegt ${\log }_2(7)\backslash log\_2(7)$ zwischen $22$ und $33$.

1. ${\log }_5(17)\backslash log\_5(17)$

Der Logarithmus einer Zahl $bb$ zur Basis $aa$ lässt sich ohne Rechner nur dann bestimmen, wenn die Basis $aa$ und die Zahl $bb$ beide (ganzzahlige) Potenzen einer gemeinsamen Zahl $cc$ sind.

Hört sich das kompliziert an? Ist aber gar nicht so schlimm.

Was du dann machst, wird am Beispiel ${\log }_4(8)\backslash log\_4(8)$ erklärt.

Allgemeines Verfahren

$a=4a=4$ ist die Basis, die Frage ist, welche Potenz von $44$ den Wert $b=8b=8$ hat.

Finde nun eine Zahl $cc$, so dass sowohl $44$ wie auch $88$ Potenzen dieser Zahl sind.

Die beste Wahl ist $c=2c=2$, denn $4=2^{2}4=2^2$ und $8=2^{3}8=2^3$ sind ganzzahlige Potenzen von $22$.

Erinnere dich, dass $x={\log }_4(8)x=\backslash log\_4(8)$ diejenige Zahl ist, die $4^x=84^x=8$ löst.

Damit fängst du einfach an:

Damit hast du ${\log }_{4}8=\frac{3}{2}\backslash log\_4\{8\}=\backslash frac\{3\}\{2\}$ berechnet.

Ein Logarithmus aus der Seite "Erste Beispiele"

Bestimme ${\log }_{\frac{1}{9}}(3)\backslash log\_\backslash frac\{1\}\{9\}(3)$.

Vorüberlegung: Der Kehrwert von $\frac{1}{9}\backslash frac\{1\}\{9\}$ ist $99$, und das ist $3^{2}3^2$. Damit ist $\frac{1}{9}=3^{-2}\backslash frac\{1\}\{9\}=3^\{-2\}$.

Als gemeinsame Zahl $cc$ kann man also die $33$ verwenden.

Damit hast du ${\log }_{\frac{1}{9}}(3)=-\frac{1}{2}\backslash log\_\backslash frac\{1\}\{9\}(3)=-\backslash frac\{1\}\{2\}$ berechnet.

Vorschlag:

Wenn du dir noch nicht sicher bist, rechne die anderen Logarithmen der Ersten Beispiele mit dieser Methode selbst aus.

Aufgabe 1

Berechne die Logarithmen

1. ${\log }_8(16)\backslash log\_8(16)$

2. ${\log }_{16}(8)\backslash log\_\{16\}(8)$

3. ${\log }_{100}(1000)\backslash log\_\{100\}(1000)$

4. ${\log }_4(\frac{1}{8})\backslash log\_4(\backslash frac\{1\}\{8\})$

5. ${\log }_{\frac{1}{9}}(27)\backslash log\_\backslash frac\{1\}\{9\}(27)$

Die meisten Taschenrechner haben keine Funktion für allgemeine Logarithmen.

Aber zwei besondere Logarithmen sind in der Regel dabei:

• $\log \backslash log$ bedeutet ${\log }_{10}\backslash log\_\{10\}$, also den Logarithmus zur Basis $1010$ (der sogenannte dekadische Logarithmus $\mathsf{l}d\{\backslash mathsf\; ld\}$).

• $\ln \backslash ln$ bedeutet ${\log }_e\backslash log\_\{e\}$, also den Logarithmus zur Basis der Eulerschen Zahl $ee$ (der sogenannte natürliche Logarithmus ).

Damit kannst du Logarithmen zu einer beliebigen Basis bestimmen (du kannst eine der Tasten benutzen, aber du darfst das innerhalb einer Rechnung nicht mischen). Hier wird es einfach mit der $\log \backslash log$-Taste erklärt.

Beispiel 1

Berechne ${\log }_2(4)\backslash log\_2(4)$ mit dem Taschenrechner.

Tippe $\log (4):\log (2)\backslash log(4):\backslash log(2)$ in den Taschenrechner ein und drücke die $==$-Taste. Dann siehst du, dass der Wert ${\log }_2(4)=2\backslash log\_2(4)=2$ ist.

Beispiel 2

Jetzt löst du das Problem aus dem Einführenden Beispiel:

Wenn du dem nicht traust, kannst du auch eine Probe machen (du hast ja den Taschenrechner noch da liegen):

$(\mathrm{0,9}{)}^{10}\approx \mathrm{0,349}(0\{,\}9)^\{10\}\backslash approx\; 0\{,\}349$

$(\mathrm{0,9}{)}^{11}\approx \mathrm{0,314}(0\{,\}9)^\{11\}\backslash approx\; 0\{,\}314$

Also ist die Dämpfung wirklich nach $1111$ Jahren erstmals unter ein Drittel gesunken.

Hier sind die wichtigsten Rechenregeln zusammengestellt.

Beispiele

1. ${\log }_2(16)={\log }_2(2\cdot 8)={\log }_2(2)+{\log }_2(8)=1+3=4\backslash log\_2(16)=\backslash log\_2(2\backslash cdot8)=\backslash log\_2(2)+\backslash log\_2(8)=1+3=4$, $\backslash \backslash$denn wegen $2^1=22^1=2$ ist ${\log }_2(2)=1\backslash log\_2(2)=1$ und wegen $2^3=82^3=8$ ist ${\log }_2(8)=3\backslash log\_2(8)=3$. $\backslash \backslash$Weil $2^4=162^4=16$ ist, ist auch der linken Seite ${\log }_2(16)=4\backslash log\_2(16)=4$ und die Gleichung stimmt.

2. ${\log }_3(6)={\log }_5(2\cdot 3)={\log }_5(2)+{\log }_5(3)\backslash log\_3(6)=\backslash log\_5(2\backslash cdot3)=\backslash log\_5(2)+\backslash log\_5(3)$

3. ${\log }_3(\frac{1}{3})=-1\backslash log\_3(\backslash frac\{1\}\{3\})=-1$, da $3^{-1}=\frac{1}{3}3^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{3\}$ ist.$\backslash \backslash$${\log }_3(3)=1\backslash log\_3(3)=1$ (klar, nicht wahr?) und wegen $3^2=93^2=9$ ist ${\log }_3(9)=2\backslash log\_3(9)=2$. $\backslash \backslash$Die Gleichung $\frac{1}{3}=\frac{3}{9}\backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{3\}\{9\}$ ist dann mit Logarithmen$\backslash \backslash$$-1={\log }_3(\frac{1}{3})={\log }_3(\frac{3}{9})={\log }_3(3)-{\log }_3(9)=1-2=-1-1=\backslash log\_3(\backslash frac\{1\}\{3\})=\backslash log\_3(\backslash frac\{3\}\{9\})=\backslash log\_3(3)-\backslash log\_3(9)=1-2=-1$

Beispiele

1. Wegen $4^{3\mathrm{/}2}=84^\{3/2\}=8$ ist ${\log }_4(8)=\frac{3}{2}\backslash log\_4(8)=\backslash frac\{3\}\{2\}$.

2. Daher ist ${\log }_4(\frac{1}{8})=-\frac{3}{2}\backslash log\_4(\backslash frac\{1\}\{8\})=-\backslash frac\{3\}\{2\}$

3. ${\log }_4(8)\backslash log\_4(8)$ kann man jetzt auch berechnen, indem man $8=\sqrt{64}={64}^{1\mathrm{/}2}8=\backslash sqrt\{64\}=64^\{1/2\}$ und $4\cdot 4\cdot 4=4^3=644\backslash cdot4\backslash cdot4=4^3=64$ benutzt:$\backslash \backslash$aus ${\log }_4(64)=3\backslash log\_4(64)=3$ folgt ${\log }_4(8)={\log }_4({64}^{1\mathrm{/}2})=\frac{1}{2}{\log }_4(64)=\frac{1}{2}\cdot 3=\frac{3}{2}\backslash log\_4(8)=\backslash log\_4(64^\{1/2\})=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash log\_4(64)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot3=\backslash frac\{3\}\{2\}$

Diese Aufgaben sind alle ohne Taschenrechner lösbar.

Aufgabe 1

Fasse zu einem Logarithmus zusammen und werte aus. Alle Ergebnisse sind ganzzahlig.

1. ${\log }_3(6)-{\log }_3(2)\backslash log\_3(6)-\backslash log\_3(2)$

2. ${\log }_6(4)+{\log }_6(9)\backslash log\_6(4)+\backslash log\_6(9)$

3. ${\log }_5(30)-{\log }_5(12)+{\log }_5(2)\backslash log\_5(30)-\backslash log\_5(12)+\backslash log\_5(2)$

4. ${\log }_2(6)-{\log }_2(24)\backslash log\_2(6)-\backslash log\_2(24)$

5. ${\log }_5(10)+{\log }_5(20)+{\log }_5(2)-{\log }_5(16)\backslash log\_5(10)+\backslash log\_5(20)+\backslash log\_5(2)-\backslash log\_5(16)$

Aufgabe 2

Fasse zu einem Logarithmus zusammen

1. ${\displaystyle \frac{3}{2}{\log }_8(4)}\backslash displaystyle\backslash frac\{3\}\{2\}\backslash log\_8(4)$

2. $2{\log }_7(3)2\backslash log\_7(3)$

3. ${\displaystyle \frac{1}{2}{\log }_7(25)}\backslash displaystyle\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash log\_7(25)$

4. $-2{\log }_{1\mathrm{/}2}(4)-2\backslash log\_\{1/2\}(4)$

Aufgabe 3

1. ${\log }_3(36)-2\cdot {\log }_3(2)\backslash log\_3(36)-2\backslash cdot\backslash log\_3(2)$

2. $16\cdot {\log }_4(2)16\backslash cdot\backslash log\_4(2)$

Es gibt drei häufig verwendete Basen:

Logarithmus zur Basis $1010$

Dieser Logarithmus heißt auch Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus und wird auch mit $\mathrm{l}\mathrm{d}\backslash mathrm\{ld\}$ bezeichnet.

Auf deinem Taschenrechner bekommst du ihn mit der $\log \backslash log$-Taste.

Dieser Logarithmus ist so wichtig, weil er in unserem Zehnersystem am besten zu berechnen ist.

Logarithmus zur Basis $ee$ (natürlicher Logarithmus)

$ee$ ist dabei die Eulersche Zahl $e\approx \mathrm{2,71}e\backslash approx\; 2\{,\}71$.

Die Wichtigkeit dieses Logarithmus hat mathematische Gründe: er taucht in der Mathematik an einigen Stellen "ganz von alleine" auf. Vielleicht kommt daher das Wort "natürlich".

Auf deinem Taschenrechner bekommst du ihn mit der $\ln \backslash ln$-Taste.

Außerdem ist dieser Logarithmus am einfachsten durch Computerprogramme (wie im Taschenrechner) zu berechnen.

Logarithmus zur Basis 2

Dieser Logarithmus hat einige Anwendungen in der Informatik und wird mit $\mathrm{l}\mathrm{b}\backslash mathrm\{lb\}$ bezeichnet.

Da man alle Logarithmen ineinander umrechnen kann, kann man sich für den Schulgebrauch zunächst bei Berechnungen auf den Zehnerlogarithmus beschränken.

Wenn du den Logarithmus einer Zahl $aa$ zu einer Basis $bb$ hast, kannst du den Logarithmus von $aa$ zu einer anderen Zahl leicht berechnen:

Beispiele

1) Weil $2^3=82^3=8$ ist, ist ${\log }_2(8)=3\backslash log\_2(8)=3$.

Wenn du weißt, dass $8^3=5128^3=512$ ist, was ist dann der Logarithmus von $512512$ zur Basis $22$?

Antwort: Wir wissen, dass ${\log }_8(512)=3\backslash log\_8(512)=3$ ist.

Daher ist ${\log }_2(512)={\log }_2(8)\cdot {\log }_8(512)=3\cdot 3=9\backslash log\_2(512)=\backslash log\_2(8)\backslash cdot\backslash log\_8(512)=3\backslash cdot3=9$

(und das stimmt auch, weil $2^9=5122^9=512$ ist.)

2) Was ist ${\log }_{1\mathrm{/}3}(81)\backslash log\_\{1/3\}(81)$?

Antwort: du weißt, dass $3^4=813^4=81$ ist, also ${\log }_3(81)=4\backslash log\_3(81)=4$.

Außerdem ist ${\displaystyle \frac{1}{3}}=3^{-1},\backslash dfrac\{1\}\{3\}=3^\{-1\},$ also auch ${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{-1}=3\backslash left(\backslash dfrac\{1\}\{3\}\backslash right)^\{-1\}=3$ und damit ${\log }_{1\mathrm{/}3}(3)=-1\backslash log\_\{1/3\}(3)=-1$.

Also ist ${\log }_{1\mathrm{/}3}(81)={\log }_{1\mathrm{/}3}(3)\cdot {\log }_3(81)=(-1)\cdot 4=-4\backslash log\_\{1/3\}(81)=\backslash log\_\{1/3\}(3)\backslash cdot\backslash log\_3(81)=(-1)\backslash cdot4=-4$.

Daraus erhält man eine weitere Regel:

Logarithmusfunktion

allgemein e Potenz

Wie berechnet ein Taschenrechner die siebte Wurzel aus 5?