Abbildungen im Raum mithilfe von Matrizen (3)

Drehung um eine Drehachse $g$ mit der Drehwinkel $\alpha$

Die Matrix $D$ beschreibt die Drehung um eine Drehachse $g$ mit dem Drehwinkel $\alpha$.

Jeder Punkt der Drehachse $g$ ist ein Fixpunkt. Weiterhin gilt $\det \left(D\right)=1$.

Bei der Drehmatrix sind die Spaltenvektoren paarweise orthogonal, d.h. sie stehen senkrecht aufeinander und haben jeweils die Länge $1$.

Ist die Drehachse der Einheitsvektor $\overrightarrow{n^{\circ }}=\left(\begin{array}{c}{n}_1\\ n_2\\ n_3\end{array}\right)$und ist der Drehwinkel $\alpha$, dann gehört die folgende Drehmatrix $D$ zu dieser Abbildung:

Drehwinkel $\alpha$ ist gesucht

Ist die Drehmatrix $D$ gegeben und ist der Drehwinkel $\alpha$ gesucht, dann gilt:

Dabei ist die Spur der Matrix $D$ gleich $d_{11}+d_{22}+d_{33}$ (Summe der Diagonalelemente).

Spezielle Drehachsen

Drehung um die $x_1$-Achse:

$D_{x_1}=\left(\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$

Drehung um die $x_2$-Achse:

$D_{x_2}=\left(\begin{array}{rrr}\cos \alpha & 0& \sin \alpha \\ 0& 1& 0\\ -\sin \alpha & 0& \cos \alpha \end{array}\right)$

Drehung um die $x_3$-Achse:

$D_{x_3}=\left(\begin{array}{rrr}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$